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Omega02 (Omega02)
Neues Mitglied
Benutzername: Omega02
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 2004 - 16:58: | 
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Ich habe folgendes Lin. Gleichungssystem zu lösen:
90 x1 + 60 x2 + 75 x3 = 4950
12 x1 + 16 x2 + 75 x3 = 1080
Ich möchte es mit dem Gausssystem lösen. Dabei will ich verhindern, das zu komplizierte Teilschritte nötig sind (ohne Taschenrechner).
Wie beginne ich am Besten? Sagt Euch der Begriff Pivotieren etwas. Kann es sein, das man damit Probleme vermeiden kann? } |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 922
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juni, 2004 - 20:31: |
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Bei der Darstellung drängt es sich förmlich auf die zweite Gleichung von der ersten abzuziehen.
78 x1 + 44 x2 = 3870
12 x1 + 16 x2 + 75 x3 = 1080
Da 78 = 2*3*13 und 44=4*11 dürfte es leichter sein, jetzt die zweite Gleichung mit 11 zu multiplizieren und die erste mit 4.
312 x1 + 176 x2 = 3870*4
132 x1 + 176 x2 + 825 x3 = 11880
Dann ziehen wir die erste von der zweiten ab
312 x1 + 176 x2 = 3870*4
-180 x1 + 825 x3 = 11880-3870*4
Nun noch den Zwischenschritt rückgängig machen(Diente ja nur zum Abziehen) und die zweite ausrechnen.
78 x1 + 44 x2 = 3870
-180 x1 + 825 x3 = 11880-15480 = -3600
Praktischer Weise lassen sich beide Gleichungen noch vereinfachen(erste durch 2, zweite durch 5)
39 x1 + 22 x2 = 1935
-36 x1 + 165 x3 = -720
Also wäre
x2 = (1935/22) - (39/22)x1
x3 = (-144/35) + (36/165) x1
(eventuelle Rechenfehler außen vorgelassen)
Ein Patentrezept gibts da eigentlich nicht, man muss halt schauen, wie man am einfachsten Variablen aus einer Gleichung eleminieren kann. Man sucht sich also solche Koeffizienten heraus die Vielfaches von einem anderen Koeffizient desselben x in einer anderen Glechung sind, oder zumindest die gemeinsame Teiler haben. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1159
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juni, 2004 - 10:16: |
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Hi,
das System, so wie angegeben, hat für x1, x2 und x3 keine eindeutige Lösung, weil eine Gleichung zu wenig angegeben ist.
Daher ist für eine der Variablen ein Parameter (x1 = 330t) wählbar.
Es gibt auch eine geometrische Deutung:
Offensichtlich bedeutet die Angabe die Gleichungen zweier Ebenen, und es ist deren Schnittgerade zu berechnen.
Die Schnittgerade der beiden Ebenen ist aber wohl eindeutig (wenn die Ebenen nicht zufällig parallel sind - dann müssten aber deren Koeffizienten bei x1, x2, x3 zueinander proportional sein, was sie hier sicher nicht sind).
Um die Schnittgerade darzustellen, muss in Ingo's Lösungsmenge nur noch x1 durch einen Parameter (t1) ersetzt werden:
x1 = t1
x2 = (1935/22) - (39/22)t1
x3 = -(144/35) + (36/165)t1
----------------------------
X = (0; (1935/22); -(144/35)) + t1*(1; -(39/22); (36/165))
den Richtungsvektor kann man noch verlängern (t1 = 330t):
X = (x1;x2;x3) = (0; (1935/22); -(144/35)) + t*(330; -585; 72)
bzw. lautet die allg. Lösung des Systemes:
x1 = 330t
x2 = 1935/22 - 585t
x3 = -144/35 + 72t
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 29., Juni. 2004 von mythos2002 editiert) |
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