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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4210
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 08:13: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 430: Konjugierte Durchmesser beim
kollinearen Bild eines Kreises.
(siehe Aufgabe LF 428)
Gegeben werden der Kreis k:
x^2 + y^2 = 4
sowie die Punkte
P1 (1/1), P2 (3/1), P3 (0/4).
Nach Aufgabe LF 428 ist das Dreieck P1 P2 P3
ein Polardreieck bezüglich k.
Wir suchen das Bild k´ des Kreises k bei der nachstehend
beschriebenen zentral - kollinearen Abbildung;
k’ ist ein Kegelschnitt(KS).
Die Gerade P2 P3 sei Fluchtgerade (1.Gegegnachse) v
bezüglich des Kreissystems; die Bilder sämtlicher Punkte auf v
sind unendlich ferne Punkte des KS-Systems.
Die Kollineationsachse e und das Kollineationszentrum Z
benötigen wir für das Folgende nicht.
Man löse folgende Teilaufgaben
a) Man begründe, dass als KS k´ eine Ellipse entsteht.
b) Man begründe, dass das Bild P1´ des Pols P1 der Gegenachse v
mit dem Mittelpunkt der Ellipse k´ übereinstimmt.
c) Welche Bedeutung haben die Bilder der Geraden
P1 P2 und P1 P3 ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1467
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 11:06: |
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Hi megamath,
kann ich a) so begründen:
Da die Gerade P2P3 als Fluchtgerade fungiert, und der Kreis diese weder berührt noch schneidet, [ d(O,P2P3) = sqrt(8) > 2 ], entsteht als Bild für k bei dieser Kollineation eine Ellipse k'!
Den Rest muss ich mal genauer unter die Lupe nehmen!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4212
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 13:27: |
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Hi Ferdi
Das ist richig!
Jenachdem die Fluchtgerade v den Kreis k
meidet,beruehrt oder schneidet,entsteht
mit k´ eine Ellipse,Parabel oder Hyperbel.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4213
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 13:54: |
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Hi Ferdi
Für die Teilaufgabe b) muss ich ein wenig nachhelfen!
Berücksichtige die wesentliche Eigenschaft
einer Polaren p zu einem Pol P eines Kreises k:
legt man eine beliebige Sekante s durch P, welche p in Q
und k in den (reellen oder imaginären) Punkten A, B schneidet,
so sind die vier Punkte (P Q A B) harmonisch.
Das Doppelverhältnis DV von vier Punkten
(hier ist DV = -1) ist eine Invariante bei der
zentralkollinearen Abbildung!
Was kann daher über die Lage der Bildpunkte
P´, Q´, A´, B´ ausgesagt werden?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4214
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 14:49: |
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Hi allerseits
Eine kleine Hilfe für Teilaufgabe c)
Man beachte und benütze die Tatsache, dass die Tangenten
in den Endpunkten eines Durchmessers zu seinem konjugierten
Durchmesser parallel sind.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1468
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 16:09: |
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Hi megamath,
zu b)
Dann müssten auch die Bildpunkt eine harmonische Gruppe darstellen! Aber wie mich der Gedanke weiterbringt weiß ich nicht...
Viel mehr hab ich folgende Überlegung:
Ist P1 der Pol zur Polaren P2P3, die Fluchtgerade, d.h. alle Punkte von ihr sind im KS-System unendlich ferne Punte, dann fällt der Bildpunkt des Pols zu dieser Polaren mit dem Mittelpunkt der Bildellipse zusammen!
Ich hab mir da mal am Kreis verdeutlicht:
Wandert der Pol immer näher zu Mittelpunkt des Kreises, so entfernt sich die Polare vom Kreis, liegt der Pol im Mittelpunkt, so ist die Polare unendlich fern, daher meine Überlegung...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4215
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juni, 2004 - 17:13: |
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Hi Ferdi
Deine Überlegung ist sozusagen stringent!
Ich hab’s lieber so:
Wir zeigen, dass die in meiner letzten Arbeit erwähnte Sehne
A´B´ des Kegelschnitts im Punkt P´, dem Bild des Pols P
der Gegenachse v, halbiert wird.
Immer noch bilden die vier Punkte P´, Q´, A´, B´ eine harmonische
Punktegruppe. Einer der Punkte, nämlich Q´, ist ein unendlich ferner Punkt,
da das Original Q auf der Gegenachse v liegt.
Nach bekannten Sätzen über harmonische Punktgruppen ist der Partner
des unendlich fernen Punktes, der Punkt P´, der Mittelpunkt der Strecke A´B´ .
Da A´ B´ eine beliebige Sehne des KS war, ist P´ Mittelpunkt des KS.
Wir benützen die neu erworbenen Kenntnis, dass bei Mittelpunkts - KS der
Mittelpunkt als Bild des Pols der Gegenachse I gewonnen wird ,
zur Lösung der nächsten LF-Aufgabe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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