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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4191
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 16:38: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 425 nimmt Bezug
auf die Aufgabe LF 424.
Die Aufgabe lautet.
Es liegt die Hyperbel aus Aufgabe 424 vor,
welche durch ihre Asymptoten
a1 und a2 und den Punkt P gegeben ist; die Daten sind:
a1: 3x – 4 y = 0
a2: 12 x + 5 y = 0
P(5/0)
Gesucht wird die Tangente t der Hyperbel
mit P als Berührungspunkt.
Zu Kontrollzwecken ermittle man von t insbesondere
den Schnittpunkt Y mit der y-Achse.
Die Aufgabe ist zu lösen:
a)
Durch Berechnung aus der Hyperbelgleichung.
b)
Durch Konstruktion mit Hilfe einer
geeigneten Zentralkollineation.
Ein Loesungshinweis für die Teilaufgabe b) folgt.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1448
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 17:30: |
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Hi,
erstmal wieder a)
Implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung:
-36x^2 + 33xy + 20y^2 = -900
-72x + 33y + 33xy' + 40yy' = 0
y' = (72x - 33y)/(33x + 40y)
Da x = 5 , y = 0
y' = 24 / 11
t: y = (24/11)*x + (120/11)
Daher für x = 0 ==> y = -120/11
Sy ( 0 | -120/11 )
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4192
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 18:23: |
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Hi Ferdi
Deine Rechnung stimmt.
Das ist eine gute Vorlage,ein Steilpass, fuer die Kontrolle einer allfaelligen
konstruktiven Loesung.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4193
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 18:26: |
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Hi allerseits
Hier der versprochene Hinweis zur Aufgabe LF 425 .
Wir fassen die gesuchte Hyperbel als zentralkollineares Bild
eines Kreises k auf.
Bezeichnungen:
Im Hyperbelsystem : ungestrichene Buchstaben,
im Kreissystem: gestrichene (mit Akzenten versehene) Buchstaben.
Als Kollineationszentrum Z wählen wir den Schnittpunkt O
der Asymptoten a1 und a2, das ist genial!
Es gilt a1 = a1´, a2 = a2´ (Kollineationsstrahlen).
Der Kreis k muss dann diese beiden Geraden berühren und im
Winkelfeld liegen, das auch den Punkt P der Hy enthält.
Die Grösse von k ist beliebig.
Die Gerade ZP schneidet den Kreis im Punkte P´, dem
korrespondierenden Punkt von P ; auch hier hat man die freie Wahl
der beiden Möglichkeiten.
Wir gehen nun darauf aus, die Gegenachse (Verschwindungsgerade)
u´ des Kreissystems zu finden.
Die Berührungspunkte der Asympoten mit k seien U´ und V´;
diese Punkte entsprechen den unendlich fernen Punkten U und V
der Asymptoten.
Mithin ist die Verbindungsgerade der Berührungspunkte
U´ und V´ die gesuchte Verschwindungsgerade u´.
Die gesuchte Hyperbeltangente t in P entspricht der Kreistangente
t ´ in P´.
Wir arbeiten mit dem Schnittpunkt T ´ von t´ mit u´.
Der korrespondierende Punkt T zu T´ auf t ist der unendlich ferne
Punkt von t ; wir erhalten die Tangente t
als Parallele zu ZT´ durch P (Kollineationsstrahl ZT´ !)
Bemerkung
Wir kommen ganz ohne Einsatz der Kollineationsachse aus!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1449
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 21:47: |
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Hi megamath,
die Konstruktion war diesmal nicht so einfach! Aber sie ist geglückt!
Hier mal ein paar Daten zum rechnerischen Nachweis:
a1 : y = (3/4)*x
a2 : y = -(12/5)*x
k: (x - (11/3))^2 + (y + 1)^2 = 9
k schneidet ZP : y = 0
P1' = ( {sqrt(72) + 11}/3 | 0 )
P2' = ( {-sqrt(72) + 11}/3 | 0 )
Der Kreis berührt
a1 in U' ( 28/15 | 7/5 )
a2 in V' ( 35/39 | -28/13 )
d.h. u' : y = (11/3)*x - (49/9)
Tangente in
P1' : y = -sqrt(8)*x + {(24 + 11*sqrt(8))/3}
P2' : y = sqrt(8)*x + {(24 - 11*sqrt(8))/3}
P1' , P2' und u' schneiden sich in
T' ( 11/3 | 8 )
Daher:
ZT' : y = (24/11)*x
Daher t : y = (24/11)*x - (120/11)
q.e.d.
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4195
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 07:35: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnungen sind sehr verdienstvoll!
Quintessenz: alles ist geglueckt; das beruhigt
und gibt Vertrauen in die Theorie.
In der Regel verzichtet man allerdings auf solche Rechnungen
und begnuegt sich mit der Konstruktion.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4196
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 08:06: |
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Hi allerseits
Ich bin gefragt worden, wie die Bestimmung einer Hyperbel
durch ihre Asymptoten und einen Punkt erklaert werden kann.
Antwort:
Ein allgemeiner Kegelschnitt (KS) ist durch 5 Bedingungen
festgelegt, wie man aus der Anzahl der Koeffizienten in der
allgemeinen Gleichung zweiten Grades in x, y
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 erkennt.
Die sechs Koeffizienten sind nur bis auf Proportionalitaet bestimmt;
also ist deren wesentliche Anzahl 5.
So kommt es dazu, dass ein KS etwa durch 5
Punkte allgemeiner
Lage oder durch 5 Tangenten bestimmt ist.
Eine Asymptote zaehlt zweifach; sie stellt eine Tangente
mit unendlich fernem Beruehrungspunkt dar.
Damit kommt das Resultat 2 + 2 + 1 = 5 zustande!
MfG
H.R.Moser,megamath
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