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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4175
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 10:19: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 420.
Zur Erholung erscheint dieselbe DGL wie in LF 419:
y°°° + 4 y°° + 5 y° + 2 y = t
Gesucht wird y = y(t)
Die Anfangsbedingungen lauten jetzt allgemeiner:
y(0) = a
y°(0) = b
y°°(0) = c
y° ist die Ableitung von y(t) nach t etc.
Man Löse die DGL
a) mittels einer direkten Methode
b) durch eine Laplacetransformation
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1439
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 11:49: |
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Hi megamath,
ad a)
Wir lösen nun das Gleichungsystem aus der vorherigen LF nur mit den allgemeinen Werten, d.h.:
A + B - (5/4) = a
-2A - B + C + (1/2) = b
4A + B - 2C = c
Wir erhalten:
A = ( a + 2b + c + (1/4) )
B = ( -2b - c + 1 )
C = ( 2a + 3b + c + 1 )
Also die Lösungsfunktion:
y(t) = (a + 2b + c + (1/4))*e^(-2t) + (-2b - c + 1)*e^(-t) + (2a + 3b + c + 1)*t*e^(-t) + (1/2)*t - (5/4)
ad b)
Führe ich die Laplacetransformation durch, so erhalte ich am Ende die Bildfunktion:
F(s) = [ as^4 + (4a + b)s^3 + (5a + 4b + c)s^2 + 1] / [ s^2*(s^3 + 4s^2 + 5s + 2 ]
Durch Partialbruchzerlegung kommt man, etwas mühsam auf:
(-5/4)*1/s + (1/2)*1/s^2 + (a+2*b+c+(1/4))/(s+2) + (-2b-c + 1)/(s+1) + (2a + 3b + c + 1)/(s+1)^2
Kennt man nun folgende Originalfunktionen zu den Bildern:
1/s = 1
1/s^2 = t
1/(s+2) = e^(-2t)
1/(s+1) = e^(-t)
1/(s+1)^2 = t * e^(-t)
Ist man am Ziel, wir haben dasselbe Ergebniss wie mit der direkten Methode, schon bei der Partialbruchzerlegung erkennt man die Lösungen des Gleichungssystems aus a)!!
Auf Wunsch kann ich später noch kurz schreiben wie ich auf die Bildfunktion F(s) gekommen bin!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4177
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 12:50: |
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Hi Ferdi
Das ging aber speditiv!
Bravo und besten Dank!
Die Gegenüberstellung der beiden Methoden ist interessant
und lehrreich zugleich.
Im Interesse der Lernenden, die ebenfalls hier mitmachen möchten,
sollten vielleicht ein paar Einzelschritte erklärt werden.
Du kannst auch Deinen Schüler, der sich für Partialbruchzerlegungen
interessiert, mit einbeziehen.
Nach meinen Erfahrungen besteht die Crux bei der Laplace-Methode
gerade in der oft aufwändigen oder aufwendigen Zerlegung in Teilbrüche.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1440
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 15:25: |
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Hi
,
hier ein paar Worte zur Laplace Transformation:
Die Laplacetransformierte L[f(t)] = F(s) [F(s) nennt man auch die Bildfunktion von f(t)] einer Funktion f(t) erhält man als:
F(s) = int[ f(t)*e^(-st) dt ] [0..inf]
Dann ergeben sich die Ableitungen der Funktion f(t) ,die ersten drei sind gesucht, zu:
L[f'(t)] = s*F(s) - f(0)
L[f''(t)] = s^2*F(s) - s*f(0) - f'(0)
L[f'''(t)] = s^3*F(s) - s^2*f(0) - s*f'(0) - f''(0)
[Beweis über partielle Integration]
Wir berechnen auch direkt die Bildfunktion zur Störfunktion y(t) = t :
int[ t*e^(-st) dt] [0..inf] = 1/s^2
Daher L[t] = 1/s^2
Setzen wir nun in die Dgl alles ein was wir oben stehen haben, für die Ableitungen alles und für y(t) setzen wir auch F(s) , was ja gesucht wird! Für f(0) etc setzen wir direkt die Werte ein und lösen schliesslisch nach F(s) auf!
F(s) = [ as^4 + (4a + b)s^3 + (5a + 4b + c)s^2 + 1] / [ s^2*(s^3 + 4s^2 + 5s + 2 ]
Nun geht es daran diese Funktion wieder zurück zu transformieren, dazu müssen wir sie in Partialbrüche zerlegen und schauen dann in Transformationstabellen oder man weiß es einfach so, wie die Originalfunktion lauten!
Zerlegen wir zunächst den Nenner:
N = s^2*(s^3 + 4s^2 + 5s + 2)
N = s^2 * (s+1)^2 * (s+2)
Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
m/s + n/s^2 + q/(s+1) + p/(s+1)^2 + o/(s+2)
Bringen wir wieder auf den Hauptnenner und vergleichen die Koeffizienten:
1 = 2n
0*s = (2m + 5n)*s
(5a + 4b + c)*s^2 = (5m + 4n + 2q + 2p + o)*s^2
(4a + b)*s^3 = (4m + n + 3q + p + 2o)*s^3
a*s^4 = (m + q + o)*s^4
Dies ergibt schlussendlich:
n = (1/2) ; m = -(5/4) ; q = (-2b - c + 1)
p = (2a + 3b + c + 1) ; o = (a + 2b + c + (1/4))
Jetzt kann man die Bildfunktionen wieder erkennen und zurücktransfomieren!
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1131
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 17:27: |
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Hi Ferdi, schön das du dich noch an den Exkurs über Laplace Transformationen erinnert hast....
Gruß N. |
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