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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4172
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 10:20: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 419
Zur Abwechslung erscheint eine DGl:
Gegeben ist die Differentialgleichung dritter Ordnung
y°°° + 4 y°° + 5 y° + 2 y = t
Gesucht wird y = y(t)
Anfangsbedingungen: y(0) = y°(0) = y°°(0) = 0
y° ist die Ableitung von y(t) nach t etc.
Wie lautet das erste Glied g = g(t) der Taylorentwicklung
mit Zentrum 0 der Lösung y = y(t) ?
Zeige, dass g(t) der DGL g°°° = t genügt.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1438
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 23:18: |
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Hi megamath,
auch dieses glaube ich gelöst zu haben:
Lösen wir zunächst:
y''' + 4y'' + 5*y' + 2y = 0
Exponentialansatz [e^(k*x)]liefert:
k^3 + 4k^2 + 5k + 2 = 0
mit k = -2 , k = -1 , k = -1
Also die Doppellösung k = -1 ,
wir erhalten dadurch unsere drei unabhängigen Lösungen:
y1 = A * e^(-2t)
y2 = B * e^(-t)
y3 = C * x * e^(-t)
Für die Störfunktion ys = t , mache ich den Ansatz: y = at + b und erhalte:
ys = (1/2)*t - (5/4)
Wir haben nun die allgemeine Lösung der Dgl gefunden:
y(t) = y1 + y2 + y3 + ys
Mit den Anfangswertbedingungen erhalte ich das Gleichungssystem:
A + B = 5/4
-2A - B + C = -1/2
4A + B - 2C = 0
Mit A = 1/4 , B = 1 , C = 1
Daher schliesslich die Funktion:
y(t) = (1/4)*e^(-2t) + e^(-t) + x*e^(-t) + (1/2)*t - (5/4)
Wir wissen ja durch die Anfangsbedingungen, das die die Funktion und die ersten beiden Ableitung an der Stelle 0 gleich 0 sind! Auch die dritte Ableitung verschwindet in 0! Die vierte Ableitung an der Stelle 0 ist 1!
Daher das Taylorpolynom:
g(t) = 1/24 * t^4 + O(t^5)
Wie man leicht sieht gilt:
g''' = t
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4174
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 10:08: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung der Dgl. ist einwandfrei;
Gratulation und Dank!
Die Aufgabe findet eine Vertiefung mit
der Aufgabe LF 420!
MfG
H.R.Moser,megamath
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