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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4165
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 16:24: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 416.
Gegeben ist der laufende Punkt P(u /v) auf der Ellipse
b^2 * x ^2 + a^2 * y ^2 = a^2 * b^2.
Man stelle die Längen L1 und L2 des durch diesen Punkt gehenden
Halbmessers a´ und seines konjugierten Halbmessers b´ je als
Funktion in der Variablen u dar.
Man richte es so, dass in L1= L1 (u) und L2 = L2 (u)
die numerische Exzentrizitaet epsilon der Ellipse erscheint.
MfG
H.R,.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1429
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 22:19: |
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Hi megamath,
sei P ( u / v )
Dann gilt : x = u , y = b/a * sqrt(a^2 - u^2)
Dann gilt:
a' = |OP| = sqrt([(a^2 - b^2)*u^2 + a^2*b^2])/a
Und dank a^2-b^2 = epsilon = e
a' = L1(u) = 1/a * sqrt( e^2*u^2 + a^2*b^2 )
Nun gilt aber:
a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2
und b'^2 = L2(u)^2
Daher:
L2(u) = 1/a * sqrt( a^4 - e^2*u^2 )
Kontrolle:
L1(u)^2 + L2(u)^2 = a^2 + b^2
Voila...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1430
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 22:33: |
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Hi,
ich habe gleich auch mal ein numerisches Beispiel getestet:
E:
x^2/9 + y^2/4 = 1
P ( (3/2) / sqrt(3) )
Dann gilt:
e^2 = 5 , u = (3/2)
L1((3/2)) = sqrt(21)/2
Bildet man |OP| = sqrt( 2,25 + 3 ) = sqrt(21)/2
Der zu OP konjugierte Halbmesser OQ hat dann die Länge:
L2((3/2)) = sqrt(31)/2
Q ergibt sich rechnerisch als ( (3/2)*sqrt(3) | -1 ),
also |OQ| = sqrt( 27/4 + 1 ) = sqrt(31)/2!
a^2 + b^2 = OP^2 +OQ^2
13 = 21/4 + 31/4 = 13!
Alles hat seine Richtigkeit!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4166
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 08:54: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnungen sind alle richtig!
Es hat sich ein kleines Missverstaendnis eingeschlichen.
Ich hatte die numerische Exzentrizitaet epsilon im Visier,
nicht die lineare Exzentrizitaet.
Bekanntlich gilt epsilon = e / a und die Relationen lauten dann:
L1(u) = sqrt [b^2 + (eps * u)^2]
L2(u) = sqrt [a^2 - (eps * u)^2]
MfG
H.R.Moser,megamath
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