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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4153
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juni, 2004 - 11:27: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe 412 erscheint eine besonders raffinierte Methode,
die Hauptachsen einer durch zwei konjugierte Halbmesser gegebenen Ellipse
zu finden.
Es handelt sich primaer um eine Konstruktionsaufgabe,
bei welcher eine geeignete schiefe Affinitaet zum Zug kommt.
Die Daten sind dieselben wie frueher.
Die konjugierten Halbmesser OP und OQ der Ellipse c sind wie folgt gegeben:
O(0 ; 0), P(5 ; 0), Q(15/4 ; -5/4).
Gesucht werden die Hauptscheitel A und B sowie die Nebenscheitel C und D
der Ellipse.
Vorgaengig sind der zur gesuchten Ellipse c affine Kreis k,
die Affinitaetsachse e und die Affinitaetsrichtung zu bestimmen.
Erste Hilfe schon jetzt:
Grundgedanke
In einer perspektiven Affinitaet zwischen Kreis k und Ellipse c
entsprechen den konjugierten Halbmessern OP, OQ
zwei aufeinander senkrechte Kreisradien O´ P´, O´ Q´.
Die Raffinesse besteht nun darin, eine moegliche perspektive Affinität
festzulegen und diese zur Konstruktion der Hauptachsen zu verwenden.
Das geht so:
Als Affinitaetsachse e wählen wir die Tangente t der Ellipse mit P
als Beruehrungspunkt.
Wir wissen: t ist zum konjugierten Halbmesser OQ parallel.
Da die Affinitaetsachse e eine Fixpunktgerade ist, fällt der Kreispunkt P´
mit P zusammen, t´ ist identisch mit t :
der zur Ellipse affine Kreis k muss die Gerade e = t = t´ in P beruehren.
Der Mittelpunkt O´ des gesuchten Kreises k liegt somit auf der Normalen n
zur Tangente t = t´ durch P´= P
Wie gross ist der Kreisradius R? Aus nahe liegenden Gruenden gilt:
R stimmt mit der Länge v = OQ des zu OP konjugierten Halbmessers ueberein:
R = OQ.
Diesen Radius tragen wir auf n von P aus (nach unten!) ab; der Endpunkt liefert
uns den Mittelpunkt O´ des Kreises k
In der Verbindungsgeraden OO´ haben wir die Affinitaetsrichtung vor uns.
Wir kontrollieren:
Der zu OP´ senkrechte Kreisradius O´Q´ (Q´ ganz rechts auf k) ist der
zum Halbmesser OQ der Ellipse affine Halbmesser des Kreises.
Und siehe da (wegen der geschickten Wahl von R!):
Die Gerade QQ´ ist parallel zur Geraden OO´ (= Affinitaetsrichtung).
Die schiefe Affinitaet ist perfekt eingerichtet, bravo!
Die Anwendung der Konstruktion des invarianten Rechtwinkelpaares
fuehrt rasch zum Schlussresultat.
Anmerkung:
Skizze auf A4 –Blatt, hochkant
x-Achse in der Mitte ,
O: 2 cm vom linken Blattrand
Einheit: 2 cm.
MfG
H.R,Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1422
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juni, 2004 - 12:07: |
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Hi megamath,
Die Konstruktion haut hin, hier die wichtigsten Daten von meiner Skizze:
t = t' = -(1/3)*x + (5/3)
r = 5/4*sqrt(10)
O' ( 15/4 | -15/4 )
Affinitätsrichtung : y = -x
k: (x - (15/4))^2 + (y + (15/4))^2 = 250/16
Q' ( 7,5 | -5 )
Damit gilt:
O'P' = y = 3x - 15
O'Q' = y = -(1/3)x - (5/2)
Damit m(O'P')*m(O'Q') = -1! Juhu!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4154
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juni, 2004 - 13:50: |
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Hi Ferdi
Soweit ist alles ok.
Dürfen wir noch den Schluss erwarten ?
Mit bestem Dank für das Bisherige
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1423
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juni, 2004 - 16:26: |
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Hi megamath,
später am Tage...ich komme grad selber vom Fussball und jetzt will ich erstmal die Eidgenossen und danach die Equipe Tricolore geniessen...
Danach wird wieder gearbeitet!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1424
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juni, 2004 - 23:46: |
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Hi megamath,
hier kommt nun der Rest(hoffentlich):
Wir haben nun O und O' , bilden wir darauf die Mittelsenkrechte!
Ms : y = x -15/4
Schneiden wir diese mit der Affinitätsachse e, Schnittpunkt S:
S ( 65/16 | 5/16 )
Um S konstruieren wir einen Kreis mit dem Radius |SO| = |SO'| = 5/16*sqrt(170)
Schneiden wir diesen mit e:
Wir erhalten die Punkte U und V:
U ( {65 + 15*sqrt(17)}/16 | {5 - 5*sqrt(17)}/16 )
V ( {65 - 15*sqrt(17)}/16 | {5 + 5*sqrt(17)}/16 )
Verbinden wir U und O so erhalten wir die Gerade:
y = (4-sqrt(17))*x
Verbinden wir V und O so erhalten wir:
y = (4+sqrt(17))*x
Schneiden wir diese Geraden mit der Ellipse, so erhalten wir die Scheitelpunkte!
mfg
PS:
Lauten die Abbildungsgleichungen hier:
x' = 1,3*x + 0,9*y - 1,5
y' = -0,3*x + 0,1*y + 1,5
bzw umgekehrt:
x = x'/4 - 9/4*y' + 15/4
y = 3/4*x' + 13/4*y' - 15/4
?? Denn damit würde man dann rechnerisch auch schnell zum Ziel kommen! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4155
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 2004 - 08:06: |
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Hi Ferdi
Der Ansatz und die Durchfuehrung für die Konstruktion
des invarianten Rechtwinkelpaares sind richtig.
Zum Abschluss der Konstruktion kannst Du so vorgehen:
Die Verbindungsgerade g der Punkte O und U und
die Verbindungsgerade h der Punkte O und V sind die
Traeger der Hauptachsen.
Ihnen entsprechen im Kreissystem die Geraden
g´= O´U und h´ = O´V
g und g´, h und h´ schneiden sich paarweise
auf der Affinitaetsachse, wie es sich gehoert.
Die Gerade h´ schneidet den Kreis im Punkt A´ (und in B´).
Mit dem Affinitaetsstrahl finden wir sofort den entsprechenden
Punkt A auf h.
A ist einer der beiden Hauptscheitel.
Die Gerade g´ schneidet den Kreis im Punkt C´ (und in D´).
Mit dem Affinitaetsstrahl finden wir sofort den entsprechenden
Punkt C auf g.
C ist einer der beiden Nebenscheitel.
Damit ist die Konstruktion vollstaendig gelungen.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4156
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 2004 - 08:39: |
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Hi Ferdi
Die Abbildungsgleichungen muessten ueberprueft und
korrigiert werden:
Die Bedingungen lauten:
Der Punkt P(5/0) ist Fixpunkt: P´= P,
Q (3,75/-1,25) geht in Q´(7,5/-5) ueber,
der Punkt O(0/0) geht in O´(3,75/-3,75) ueber.
Im Uebrigen:
Bei der vorgeschlagenen Methode benoetigen wir die
Abbildungsgleichungen nicht.
In erster Linie soll das Ergebnis konstruktiv ermittelt werden.
Die Berechnungen dienen allenfalls der Kontrolle.
Ich komme in der Aufgabe.LF 414 auf die
Angelegenheit zurueck.
MfG
H.R.Moser,megamath
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