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Lockere Folge 409 : Ellipse aus konju...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4142
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 18:57:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In den folgenden Aufgaben der LF- Serie soll das Problem
geloest werden, eine Ellipse aus einem Paar konjugierter
Halbmesser zu bestimmen.
Die Ausgangsdaten sind jedes Mal dieselben, die Methoden
unterscheiden sich jedoch grundsaetzlich.
Auch die bekannte Methode der Achsenkonstruktion nach
Rytz soll zum Zug kommen.
Hoffentlich bekommen wir auch bei den ausgefallensten Methoden
jeweils dieselben Resultate!


Die Aufgabe LF 409 lautet:

Von einer Ellipse kennt man die konjugierten Halbmesser OP und OQ.
Wir legen sie in ein (x,y)-Koordinatensystem; die Daten sind:
O(0 ; 0), P(5 ; 0), Q(15/4 ; -5/4).
Gesucht werden die Richtungen der Hauptachsen und die zugehörigen
Halbachsen a und b.

Die in Frage kommende Ellipse ist gegenueber dem gewaehlten
Koordinatensystem gedreht.
Ihre Gleichung lautet
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + F = 0
Wir duerfen A = 1 normieren.
Die restlichen Koeffizienten sind bestimmt und sollen
gesucht und gefunden werden.
Eine ausgewachsene Hauptachsentransformation besorgt den Rest!

MfG
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4144
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 20:12:   Beitrag drucken

Hi allerseits



In der folgenden Aufgabe LF 310 erscheint die bekannte
Achsenkonstruktion von Rytz.

David Rytz war Mathematiklehrer an der renommierten Kantonsschule
Aarau CH.
Er veröffentlichte seine famose Methode der Achsenkonstruktion
im Jahr 1845.
50 Jahre später besuchte Albert Einstein für kurze Zeit dieselbe Schule,
mit Erfolg,wie der folgende Artikel aus Google belegt:

Beginn Zitat
Albert Einstein 1879 - 1955
In den Jahren 1895 und 1896 besuchte er die Alte Kantonsschule in Aarau auf Empfehlung des Rektors der ETH.
Einstein war kein schlechter Schüler, wie die Legende behauptet. Er war eher ein ungewöhnlicher Schüler, dem intellektueller Leistungsdruck wenig bekam. 1894 entfloh er dem geistigen Drill am Münchner Luitpold-Gymnasium und ging in die Schweiz, um am Züricher Polytechnikum zu studieren. Doch Einstein erlag dem Druck der Aufnahmeprüfung und fiel durch. Da die nächste Prüfung erst ein Jahr später stattfand, ging er derweil an die Alte Kantonsschule Aarau, um sich vorzubereiten. Nach Einsteins eigenem Bekunden war die Schulatmosphäre in Aarau, informell und demokratisch. "Diese Schule hat durch ihren liberalen Geist und durch den schlichten Ernst der auf keinerlei äusserliche Autorität sich stützenden Lehrer einen unvergesslichen Eindruck in mir hinterlassen." Hier konnte Einsteins gemächlicher und unabstrakter Denkstil reifen, der ihm den Weg zur Relativitätstheorie wies. "Der normale Erwachsene denkt über Raum-Zeit-Probleme kaum nach", begründete Einstein seinen Erfolg. Das hat er seiner Meinung nach bereits als Kind getan. "Ich hingegen habe mich geistig derart langsam entwickelt, dass ich erst als Erwachsener anfing, mich über Raum und Zeit zu wundern. Naturgemäss bin ich dann tiefer in die Problematik eingedrungen als die normal veranlagten Kinder."

An der Kantonsschule wurde er von diversen Lehrern gefördert. So erhielt er von August Tuchschmid, welcher 47 Jahre an der aargauischen Schule gewirkt hatte, die ersten Einblicke in die theoretische Physik. Einsteins aargauischer Lebensabschnitt stand auch insofern unter einem hellen Stern, als er im "Rössligut" bei der Familie Winteler fast wie ein eigenes Kind untergebracht war. Das Oberhaupt der Familie, Jost Winteler, erteilte selber an der Kantonsschule Geschichte, Griechisch und Philologie. In diesem Familienkreis herrschte ein freier und angeregter Meinungsaustausch, was Einstein sehr schätzte.
In lebhafter Erinnerung an den liberalen Geist und schlichten Ernst seiner Lehrer schrieb er im hohem Alter über seine Schulzeit in Aarau: "Diese Erfahrung meiner Jugend hat mir so recht gezeigt, dass Dezentralisierung des Erziehungswesens, verbunden mit weitgehender Freiheit der Lehrkräfte in der Wahl des Lehrstoffes und der Lehrmethode, Lehrer und Schüler zu verantwortungsbewusster und freudiger Arbeit bringen kann, wie es keine noch so spitzfindige Reglementierung vermag. Denn der Mensch ist keine Maschine und verkümmert, wenn ihm die Gelegenheit zu eigener Gestaltung und die Freiheit zu eigenem Urteil versagt wird."
Ende Zitat

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1416
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 23:36:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe lange nachgedacht, jetzt fiel mir die letzte Bedingung ein um B und C ordentlich zu bestimmen!

Ans Werk:

P liegt auf E:

F = -25

Q liegt auf E:

C - 3B = 7

Nun muss in Q die Tangente Parallel zu OP sein, d.h. y'(Q) = 0

Implizites Differenzieren liefert:

y' = -2x - By / (Bx + 2Cy)

d.h. -2x - By = 0
==> B = 6
==> C = 25

Wir haben:

x^2 + 6xy + 25y^2 = 25

Die Hauptachentransformation:

Matrix der quadratischen Form:

13
325


Charakteristisches Polynom:
L^2 - 26L + 16 = 0

Eigenwerte:
L1 = 13 + 3*sqrt(17)
L2 = 13 - 3*sqrt(17)

Eigenvektoren:
zu L1 = { 1 , (4 + sqrt(17)) }
zu L2 = { 1 , (4 - sqrt(17)) }

Das sagt schon fast alles:

Halbachsen:

(13-3*sqrt(17)X^2 + (13+3*sqrt(17)Y^2 = 25

==> a = sqrt( 25 / (13 - 3*sqrt(17)) )
==> b = sqrt( 25 / (13 + 3*sqrt(17)) )

Hauptachsen liegen auf den Geraden definiert durch die Eigenvektoren:

y = -x/(4 + sqrt(17)) [ m1 ~ -0,1231 ]
y = -x/(4 - sqrt(17)) [ m2 ~ 8,1231 ]

Es gilt(!) m1 * m2 = -1.

Weiterhin gilt:

a^2 + b^2 = 325/8

und

OP^2 + OQ^2 = 325/8

Damit: a^2 + b^2 = OP^2 + OQ^2

Alles kommt wieder zusammen! OP und OQ sind also zwei konjugierte Halbmesser der soeben bestimmten Ellipse E!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4145
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 08:17:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Deine ausgezeichnete Arbeit ist in jeder Hinsicht gelungen!
Sie haelt auch der Probe mit der Quadratsumme stand.
Bravo!
Das Ergebnis kannst Du noch zusaetzlich an Hand des Satzes
mit dem Flaecheninhalt des Dreiecks OPQ bestaetigen;
diese Flaeche ist F = ½ * 25/4 .
Ich empfehle, zum spaetern Gebrauch, das Ergebnis in einer
grafischen Darstellung auf Millimeterpapier festzuhalten
(Einheit 2 cm).
In weiteren LF-Aufgaben kommen wir auf diese Zeichnung
zu sprechen.

MfG

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4146
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 08:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Zu dieser Aufgabe sollen noch zwei Bemerkungen angebracht werden.

1.
Die Methode, auf diese Art die Hauptachsen samt Halbachsen zu ermitteln,
scheint kompliziert zu sein.
In praxi wird sie gleichwohl öfters benützt, da sie sich hervorragend dazu eignet,
mit einem Computerprogramm die aufwendigen Rechnungen zu delegieren.

2.
Will man nur die Halbachsen a und b ermitteln, loest man das Gleichungssystem
u v sin (sigma) = a b
u^2 + v^2 = a^2 + b^2
nach a und b auf.

Dabei ist u der Betrag des Vektors OP, v derjenige des Vektors OQ
sigma der Zwischenwinkel dieser Vektoren.

MfG
H.R.Moser,megamath

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