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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4140
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 13:41: | 
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Hi allerseits
Lockere Folge 408
Diese Aufgabe ist den in der vorhergehenden
Aufgabe LF 407 angekündigten Spezialfällen gewidmet.
Man beweise:
a)
Für f = - a / b gilt:
der geometrische Ort der Endpunkte P(xo/yo) ist eine
Strecke auf der y-Achse (degenerierte Ellipse);
Endpunkte: Yl (0 ; - e^2 / b ) ,Y2 (0 ; e^2 / b )
Dabei ist e die lineare Exzentrizität der E, also
e^2 = a^2 – b^2
b)
Für f = - b / a gilt:
der geometrische Ort der Endpunkte P(xo/yo) ist eine
Strecke auf der x-Achse (degenerierte Ellipse);
Endpunkte: Xl ( - e^2 / b ; 0) ,X2 ( e^2 / b ; 0)
Dabei ist e die lineare Exzentrizität der E, also
e^2 = a^2 – b^2
PS
Neckischerweise sind die genannten vier Endpunkte
der Strecken gerade die Krümmungszentren für die
Scheitelpunkte der gegebenen Ellipse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1414
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 17:07: |
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Hi megamath,
ich würde es so machen:
Für f = -a/b liefert die Paramterdarstellung:
x = 0
y = (b^2 - a^2)/b * sin(t)
Andererseits hatten wir für die Ortskurve:
x^2/(a+fb)^2 + y^2/(b+fa) = 1
Setze ich dort x = 0 und dann f = -a/b
y^2 = (b^2 - a^2)^2 / b^2
y = +- (a^2 - b^2) / b
y = +-e^2 / b
Das Problem mit dieser Methode ist aber das ich für f = -b/a dies erhalte:
x = +- e^2 / a ; y = 0
Da kann ja was nicht stimmen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4141
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 17:58: |
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Hi Ferdi
Zur Loesung des Problems empfehle ich das folgende Vorgehen:
Ausgangspunkt ist das Formelpaar aus der Loesung fuer LF 407:
xo = a cos(t) + f * b cos(t)
yo = b sin(t) + f * a sin(t)
ad a)
hier setzen wir f = - a/b
es entsteht sofort
xo = 0 fuer alle t
yo = {- (a^2 - b^2) / b } * sin t = - e^2/b * sin t
Beachte : t laeuft von 0 bis 2Pi.
Dabei beschreibt Po zweimal die angegebene Strecke.
ad b)
hier setzen wir f = - b/a
es entsteht sofort
yo = 0 fuer alle t
xo = {(a^2 - b^2) / a } * cos t = e^2/a * cos t
Beachte : t laeuft von 0 bis 2Pi.
Dabei beschreibt Po zweimal die angegebene Strecke.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1415
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 19:29: |
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Hi megamath,
ist bei b) jetzt das Endpunktepaar:
+- e^2 / a oder +- e^2 / b
Das war ja mein Problem, in der Aufgabenstellung war es Fall zwei in der Lösung Fall eins, ansonsten hätte ich das ja hier so stehen gehabt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4143
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 19:38: |
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Hi Ferdi
Die leidigen Verwechslungen!
In b) soll gelten:
f=-b/a;
y identisch null
Endpunkte: x: e^2/a und - e^2 / a.
Du hast Recht !
MfG
H.R.Moser,megamath |
