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Lockere Folge 407 : Ortskurven 2

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4138
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 10:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lockere Folge 407
Diese Aufgabe ist eine nahe liegende Verallgemeinerung
der Aufgabe LF 406
Sie bezieht sich wiederum auf konjugierte Halbmesser
der Ellipse.
x = a cos t , y = b sin t; mit 0 <= t < 2 Pi

Vom allgemeinen Punk P dieser Ellipse aus tragen wir auf der
Kurvennormale n das Vielfache f der Strecke OQ ab,
bei positiven f –Werten nach aussen, bei negativen nach innen.
O ist der Mittelpunkt der Ellipse, Q der Endpunkt des zu OP
gehörenden konjugierten Halbmessers.
Die Endpunkte dieser auf n liegenden Strecken seien P1 und P2
Welche Ortskurven beschreiben P1 und P2, wenn P auf der Ellipse läuft?

Voraussetzungen für f:
f ist sowohl von – a / b als auch von – b / a verschieden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1413
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 12:09:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe deine Rechnung in LF406 jetzt mal nachgerechnet! Ich denke man kann sie hier getrost übernehmen, nur das man anstatt einmal die Strecke OQ gleich f mal diese Strecke anhängt.

Dann komme ich auf die Koordianten für P1:

xo = a cos(t) + f * b cos(t)
yo = b sin(t) + f * a sin(t)

Hier stellt sich nun das Problem t zu eliminieren, es ist ja nich so einfach wie für f = 1!

Ich hab nun ein wenig rumgespielt und versucht, das beste(??), was ich bis jetzt erreicht habe war:

xo^2 + yo^2 = [(a cos(t))^2 + (b sin(t))^2] + 2 a b f + f^2 * [(a sin(t))^2 + (b cos(t))^2]

Der Term sieht nun mit den alten Bezeichnungen so aus:

xo^2 + yo^2 = a'^2 + 2 a b f + f^2 * b'^2

Wobei dann wohl:

a'^2 + f^2 * b'^2 nicht gleich a^2 + f^2 * b^2 ist!

Bei der Eliminierung glaube ich auch gesehen zu haben warum für f die Werte -a/b und -b/a NICHT erlaubt sind:

xo^2 + yo^2 = cos(t)^2 * ( a + bf )^2 + sin(t)^2 * ( b + af )^2

Sollte einen dieser beiden Werte annehmen, so wird ein Summand null, was dann wohl nicht gut ist...

Naja, wie eliminieren wir nun t??

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4139
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 13:01:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

ich wage es kaum zu sagen:
nichts leichter als das, wenn man den Wald trotz der Bäume erkennt:

es ist
xo = (a + f b) cos t
yo = (b + f a) sin t

daraus
cos t = xo / (a + f b )
sin t = yo / (b + f a )

Quadriere und addiere; es kommt die Gleichung einer Ellipsenschar
mit f als Parameter:

xo^2 / (a + f b )^2 + yo^2 / (b + f a )^2 = 1.

Es gelten die genannten Einschränkungen, auf die ich in LF 408
zurückkommen werde.

Vielen Dank für Deinen Beitrag:
Hauptsache, dass der Einstieg vollständig gelungen ist!


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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