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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4127
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 09:53: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 405 ist eine Fortsetzung der Aufgabe LF 404
(die vorangehende LF sollte die Nummer 404 tragen !).
Sie lautet:
Die Ebene E mit der Gleichung z = x/2 + y schneidet das
einschalige Hyperboloid x^2 + 2 y^2 - z^2 = 1 in einer Ellipse
mit Mittelpunkt in O.
Von dieser Ellipse soll ein Paar konjugierter Halbmesser
OU, OV ermittelt werden.
Beschreibung:
OU liegt auf der Schnittgeraden von E mit der (x,y)-Ebene,
in V ist die Ellipsentangente zur (x,y)-Ebene
und damit zu OU parallel; somit sind die Halbmesser in der Tat
konjugiert.
Beachte: V ist der Ellipsenpunkt mit maximaler z-Koordinate.
Die Halbmesser haben die Laengen OU = c , OV = d;
ihr spitzer Winkel sei sigma.
Man berechne Q = c * d * sin (sigma) auf neun Stellen
nach dem Komma.
Was faellt beim Vergleich mit dem Resultat des Produktes
P aus Aufgabe 404 auf? Schlusshypothese ?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1407
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 16:37: |
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Hi megamath,
hier habe ich es so gemacht, mal sehen obs funktioniert:
Schnittgerde s von E und z=0:
s: x = 2r , y = -r , z = 0
Setzen wir dies in die Hyperboloidgleichung ein:
6r^2 = 1 ==> r = +-sqrt(1/6)
Ich nehme die positive Lösung und erhalte:
U = ( sqrt(2/3) , -sqrt(1/6) , 0 )
damit c = sqrt(5/6)
Setze ich nun die Ebenengleichung in die Hyperboloidgleichung ein, erhalte ich eine Ellipsengleichung, ich suche den Punkt an der die Steigung = -(1/2) ist [ = Steigung von s in der x,y Ebene]! Hierzu löse ich die Gleichung nach y auf und differenziere die Gleichung etc, Schlussendlich erhalte ich den Punkt V:
V = ( sqrt(4/3) , sqrt(4/3) , sqrt(3) )
Dazu berechnen wir durch eine kleine Rechnung nun den Winkel zwischen OU und OV als:
arccos( 2/sqrt(85) )
==> sqrt(5/6)*sqrt(17/3)*sin(arccos(2/sqrt(85))
Eine kurze Rechnung liefert:
Q = 3/2*sqrt(2) [ ~ 2,12132034 ]
Damit P = Q
Hypothese:
Das Produkt der Halbachsen einer Ellipse ist gleich dem Produkt zweier konjugierter Halbmesser und dem Sinus des von ihnen eingeschlossen Winkels!
Faszinierend wenn diese Hypothese stimmen würde...
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4129
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 20:19: |
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Hi Ferdi
Deine Angaben sind alle richtig!
Ich werde spaeter auch meine Methode zeigen.
Sie kommt ohne Differentialrechnung aus!
Ein Breve zu den konjugierten Durchmessern einer Ellipse:
Die Ellipse hat unendlich viele paare konjugierter Durchmesser.
Jeder Durchmesser eines solchen Paares halbiert alle zum andern
parallelen Sehnen und ist zu den Tangenten in dessen Endpunkten
parallel.
Für die Ellipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2
gilt fuer die Steigungen m1,m2 konjugierter Durchmesser
m1*m2 = - b^2 / a^2.
Es gelten die markanten Saetze:
1.
Zwei konjugierte Ellipsenhalbmesser bilden ein Dreieck
konstanter Fläeche F.
Sind u , v die beiden konjugierten Halbmesser, sigma ihr
Zwischenwinkel, so gilt:
2 F = u * v * sin (sigma) = constans = ab.
2.
Die Summe der Quadrate zweier konjugierten Halbmesser ist konstant:
u^2 + v^2 = constans = a^2 + b^2.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4130
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 20:54: |
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Hi allerseits
Ich habe die Aufgabe so angefangen:
Ich schneide das Hyperboloid und die Ebene E mit einer ersten
Hauptebene H, das ist eine Parallelebene zur (x,y)-Ebene mit
der Gleichung z = h; h übernimmt dabei die Rolle eines Parameters.
Aus den drei Gleichungen eliminiere ich die Variablen x und z;
uebrig bleibt eine quadratische Gleichung in y:
6 y^2 – 8 h y + 3 h^2 – 1 = 0
Damit eine Berührung der Schnittgeradan von H und E mit der Ellipse
eintritt, muss die Diskriminante D dieser Gleichung null sein.
Es muss also gelten:
D = 64 h^2 - 24 (3 h^2 – 1 ) = 0;
daraus h^2 = 3.
Wir sind auf dem richtigen Niveau!
Leicht findet man mit h = sqrt 3 : x = y = 2/sqrt(3) ,
Damit ist der Punkt V festgelegt
U findet man leicht, indem h = 0 gesetzt wird;
sofort kommt y^2 = 1/6 usw.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4131
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 21:25: |
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Hi allerseits
Die Idee, mit den Aufgaben LF 404 und LF 405
auf die fruehere Aufgabe LF 391 zurueckzukommen
und auf diese naeher einzugehen, induzierte
der letzte Beitrag von Panther, in dem sie (!)
auf meine Loesung des Problems hingewiesen hatte.
Auch ihr M-Professor war offenbar involviert.
Es war mir ein Anliegen, zu zeigen, dass die von mir
angewandte Methode das Ziel erreicht
und eine sehr harte Prüfung besteht.
Das war anfangs hypothetisch, jetzt ist es Gewissheit!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1409
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 21:58: |
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Hi megamath,
ich hatte nie daran gezweifelt das deine Methoden ihr Ziel verfehlen!
Auch die neuen Informationen zu Ellipsen habe ich [ und andere sicherlich auch ] gerne in meine [ ihre ] Unterlagen aufgenommen!
mfg |
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