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unendlich viele rationale Wurzeln?

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Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 13:46:   Beitrag drucken

Hallo,

mein Problem ist, zu entscheiden, ob der Ausdruck

sqrt(1+2*x^3*y+x*y^2)

für unendlich viele Paare von (x,y) (x,y positiv und rational; x ungleich 1) wieder rational ist. Habe bereits alles für mich Erdenkliche probiert, komme aber einfach nicht weiter.

So viele Beispiele, wie ich bereits gefunden habe, vermute ich, dass es unendlich viele Paare gibt.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Toxical
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Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 16:26:   Beitrag drucken

hallo,

Problem hat sich erledigt. Es gibt unendlich viele :-)

Grüße
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2258
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 17:18:   Beitrag drucken

Beweis würd mich interessieren
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 19:32:   Beitrag drucken

sqrt(1+2*x^3*y+x*y^2)

x := a/b
y := c/d

mit a,b,c,d aus IN

daher

sqrt(1 + 2a^3/b^3*c/d + a/b*c^2/d^2) =
sqrt(1 + 2a^3c/(b^3d) + ac^2/(bd^2)) =
sqrt(b^3d^2/(b^3d^2) + 2a^3cd/(b^3d^2) + ab^2c^2/(b^3d^2)) =
sqrt((b^3d^2 + 2a^3cd + ab^2c^2)/(b^3d^2)) =

nun um nenner ein vollst. quadrat, daher

sqrt((b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^4d^2)) =

der nenner ist aus IN, daher

sqrt(b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^2d) =

a := m^2
b := n^2

mit m, n aus IN

daher

sqrt(n^8d^2 + 2m^6n^2cd + m^2n^6c^2)/(n^4d) =

für n^4d * mn^3c = m^6n^2cd ist die Wurzel ein vollst. quadrat, daher

n^4 * mn^3 = m^6n^2

das ganze ist mal von c und d unabhng.

n^5 = m^5

einzige Bedingung m = n muß erfüllt sein;

m = n => a = b => x = 1

da aber x = 1 lt. Voraussetzung nicht sein darf, gibt es nur endlich viele Lsg.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2259
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 21:48:   Beitrag drucken

Schönen Dank, Mainzimann,
um wirklich mitzukommen, brauchte ich allerdings
waagrechte Bruchstriche
application/pdfformeln
formeln.pdf (13.4 k)

aber ich nehme an, so hast Du es auch erst auf Papier entwickelt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 795
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 23:43:   Beitrag drucken

Hallo Fritz,

ne ich habs direkt reingeklopft

aber seltsamerweise ist das der Gegenbeweis zur Behauptung

eine Lösung für x und y, welche den Erfordernissen entsprechen fällt mir auch keine ein

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2260
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 09:17:   Beitrag drucken

na, "brute force" zeigt daß es sogar mehrere ganzzahlige Lösungen gibt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 901
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 19:46:   Beitrag drucken

Ich habe den Beweis von Walter jetzt nur kurz überflogen, aber ich denke mal der Fehler liegt in der Annahme:
a := m^2
b := n^2

Damit sind natürlich längst nicht alle rationalen Zahlen a/b erfasst.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 796
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 00:32:   Beitrag drucken

Hm,

du bringst mich in verlegenheit

sqrt(b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^2d) =

angenommen ich mache die subst. mit

a := m^2
b := n^2

nicht,

dann muß auf jeden fall folgendes gelten damit das ein vollst. quadrat sein kann:

a^3bcd = b^2d * sqrt(ab)bc
a^3 = b^2 * sqrt(ab)

auch hier ist das ganze unabhngig von c und d

a^3 = b^2 * sqrt(ab) <-- ok, hier wurden durch die subst. möglichkeiten ausgeschaltet, a*b muß eine quadratzahl sein, was z.b. mit
a = 2
b = 8
der Fall ist, aber a und b selbst sind nicht quadratisch;

a^3 = b^2 * sqrt(ab)

also mal folgende subst.:

a := p^2 * n
b := q^2 * n

mit, p, q, n aus IN und in p^2 bzw. q^2 kann durchaus der Faktor n in einer geraden Vielfachheit stecken; daher gilt dann:

(p^2*n)^3 = (q^2*n)^2 * sqrt(p^2*n * q^2*n)
p^6n^3 = q^4n^2 * sqrt(p^2q^2n^2)
p^6n^3 = q^4n^2 * pqn
p^6n^3 = pq^5n^3
p^6 = pq^5

und das läßt ebenfalls nur den Schluß zu, daß
p = q gilt und somit auch a = b, was aber laut Voraussetzung nicht sein darf;

jetzt hab ich mal mein Mathematica angeworfen:

f[a_, b_, c_, d_] := Sqrt[b^4*d^2 + 2*a^3*b*c*d + a*b^3*c^2]
initialisiert eine fkt.


Table[ Table[ Table[ Table[ f[a, b, c, d], {a, 1, 10, 1} ], {b, 1, 10, 1}] , {c, 1, 10, 1}], {d, 1, 10, 1}]
listet einfach die Wurzelwerte auf


Table[ Table[ Table[ Table[ List[1000000*a + 10000*b + 100*c + d, (Floor[f[a, b, c, d]] == f[a, b, c, d]) && (a != b )], {a, 1, 10, 1} ], {b, 1, 10, 1}] , {c, 1, 10, 1}], {d, 1, 10, 1}]

listet einen Wert, um a,b,c,d zurückzuverfolgen und true, ob a != b und f[a,b,c,d] ganzzahlig ist;

f[8,9,10,10] liefert 1470, somit ist das ein Beispiel, welches den Anforderungen genügt:

x = 8/9 und y = 1

Gibt es nun wirklich unendlich viele rationale Paare x,y mit der die Wurzel wieder rational ist?



Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 28
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 18:53:   Beitrag drucken

Hallo,
danke für die rege Beteiligung. Mein Beweis sieht folgendermaßen aus:Formeln


In Erwartung eurer Meinungen dazu,

Toxical
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 797
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:57:   Beitrag drucken

Hm,

n sollte aus IQ sein, wenn die Wurzel rational sein soll;

auch Dein p muß aus IQ sein;

1 + 2x^3 y + xy^2 =
1 + 2((1-p)/2)^3(1+p) + (1-p)/2 * (1+p)^2 =

1 + (1-2p+p^2)(1-p^2)/4 + (1-p^2)(1+p)/2 =

1 + (1-2p+p^2-p^2+2p^3-p^4)/4 + (1-p^2+p-p^3)/2 =

1 + 1/4 - p/2 + p^3/2 - p^4/4 + 1/2 + p/2 - p^2/2 - p^3/2 =

1 + 1/4 - p^4/4 + 1/2 - p^2/2 = 7/4 - p^4/4 - p^2/2

Du ne, da haste wo an Rechenfehler eingebastelt, stimmt nicht

die Idee wäre aber gut gewesen

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1424
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:15:   Beitrag drucken

Hi Walter

Da muss ich dir leider widersprechen :-(

Bei dir muss irgendwo ein Rechenfehler sein. Die Gleichung am Ende muss ja auf jeden Fall stimmen, weil man ja von Anfang an
1+2x3y+xy2 = n2
hatte. Und es gilt n=(1+p2)/2.

Setzt man in die ganzen Formeln irgendein beliebiges rationales p ein, so folgt, dass n, x und y auch alle rational sind und nach dem Beweis auch, dass sqrt(1+2x3y+xy2) rational ist.

MfG
Christian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2263
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:37:   Beitrag drucken

@Toxical:
also bis x = (n-1)/y komm ich noch mit
aber wie kommst Du auf y = 1 + sqrt(2n-1) ???
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1425
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:46:   Beitrag drucken

Hallo Friedrich

Setz mal x=(n-1)/y in die Gleichung
2x2+y=n+1 ein.
Auflösen nach y ergibt u.a.
y=1+sqrt(2n-1)

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 798
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:51:   Beitrag drucken

Tja man soll nicht 1+p und p-1 schreiben , des verwirrt;

Also nochmal:

1 + 2((p-1)/2)^3(p+1) + (p-1)/2*(p+1)^2 =
1 + (p^2-1)(p^2-2p+1)/4 + (p^2-1)(p+1)/2 =
1 + (p^4-2p^3+p^2-p^2+2p-1)/4 + (p^3-p+p^2-1)/2 =
1 + p^4/4 - p^3/2 + p/2 - 1/4 + p^3/2 + p^2/2 - p/2 - 1/2 = p^4/4 + 2p^2/4 + 1/4

Jetzt passts, sehr fein

(es gibt kein p für x = 8/9, y = 1 )
Mainzi Man,
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Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:42:   Beitrag drucken

Da freue ich mich ja, dass die Sache geklärt ist:-)

und das es sogar mehr als unendlich viele Lösungen zu geben scheint:D

gruss

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