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Wann reißt das Seil?

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Sterntaler1106 (Sterntaler1106)
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Neues Mitglied
Benutzername: Sterntaler1106

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 09:21:   Beitrag drucken

Hi, ich hab folgende Aufgabe zu lösen:

p(L) sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Seil der Länge L NICHT reißt. Es gelte p(L1 + L2) = P(L1) * P(L2) und es sei p(2)=0,5.
Gesucht: Erwartungswert der Länge, bei der das Seil reißt.

Ich hab mir das so gedacht, dass man vielleicht ne allgemeine Form für p(L) finden muss und dann davon den Erwartungswert berechnen kann, bin mir aber nicht so sicher, ob mein Ansatz Sinn macht und zum Ziel führt.

Hat jemand ne Idee, wie man die Aufgabe am besten löst?

Viele Grüße, Sterntaler
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Sterntaler1106 (Sterntaler1106)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sterntaler1106

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 09:45:   Beitrag drucken

Also ich würd mal sagen:

p(L) = [Wurzel(0.5)]^L

und

q(L) = 1 - p(L)

die Wahrscheinlichkeit dafür, *dass* ein Seil der Länge L reißt.
Aber ich seh leider gerade überhaupt nicht, wie ich aus diesen Informationen berechnen kann, was der Erwartungswert für die Länge ist, bei der das Seil reißt. Wenn ich q(L) in die Formel für den Erwartungswert einsetze, dann kommt mir das, was ich da erhalte, nicht sinnvoll vor.
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Suddenguest (Suddenguest)
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Junior Mitglied
Benutzername: Suddenguest

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 21:34:   Beitrag drucken

Ist der Erwartungswert der Länge, bei der das Seil reißt, nicht die Umkehrfunktion zur Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Seil der Länge L reißt?

seil

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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 384
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 22:30:   Beitrag drucken

Hi Sterntaler,
vielleicht ist die Formulierung in der Aufgabe etwas unglücklich. Ich denke mal, dahinter steckt ein Experiment, bei dem ein Seil solange verlängert wird bis es reisst, d.h. p(L) ist die W. dass es bis zur Länge L noch nicht gerissen ist. Daran erkennt man besser, dass es sich bei q(L) um eine Art Verteilungsfunktion der Reißlänge handelt. Für die Formel des Erwartungswertes brauchst du aber die Dichte, also erst nochmal differenzieren, dann solltest du vernünftige Ergebnisse bekommen.

Sotux
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Sterntaler1106 (Sterntaler1106)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sterntaler1106

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 23:52:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

eigentlich meinte mein Prof, wenn ich ihn richtig in Erinnerung hab, dass wir die Seillänge als zufällige Variable auffassen sollen, die eben verschiedene Längenwerte annehmen kann und dann dieses p(L) schon als Dichte aufzufassen ist...
aber irgendwie komm ich damit echt nicht weiter, ich werde auf jeden nochmal über deinen Vorschlag, das als Verteilung anzusehen, nachdenken.

Sterntaler
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Sterntaler1106 (Sterntaler1106)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sterntaler1106

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 00:19:   Beitrag drucken

Mein Professor hatte noch folgenden Hinweis gegeben, fällt mir gerade ein:
Er meinte, wir sollen das mit der Häufigkeit vergleichen, wie oft man eine Münze werfen muss, bis das erste Mal Zahl oben liegt. Also Zufallsvariable ist "Häufigkeit der nötigen Würfe", die kann 1,2,3,4,... betragen. Und jede Häufigkeit n hat dann die Wahrscheinlichkeit (0.5)^n, weil man in den ersten n-1 Würfen mit Wahrscheinlichkeit 0.5 Kopf wirft und dann im n-ten Wurf mit Wahrscheinlichkeit 0.5 Zahl. Hier ist das aber wirklich die Dichte, oder? bei zum Beispiel n=3 komm ich dann auf ne Wahrscheinlichkeit von 1/8. Die verbleibenden 7/8 teilen sich ja aber auf den Bereich davor (man muss 1 oder 2 Mal werfen mit einer Wahrscheinlichkeit von zusammen 6/8) und den Bereich dahinter auf (man muss mehr als 3x werfen mit Wahrscheinlichkeit 1/8).
Ich selber komm mit diesem Hinweis leider auch nicht wirklich weiter, aber vielleicht hat jemand anders nochmal ne Idee und sieht die Gemeinsamkeit?

Sterntaler
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 385
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 23:29:   Beitrag drucken

Hi Sterntaler,
hier hast du in der Tat eine "Dichte", wenn du diesen Ausdruck auch im diskreten Fall verwenden willst.
Ich versuchs mal mit dem Hinweis deines Profs und der Annahme, dass p wirklich eine Art Dichte ist.
Gehen wir also von folgendem Modell aus: wir haben ein um jeweils ein m verlängerbares Seil (also nur diskrete Längen, wie im Beispiel) und testen nach jeder Verlängerung ob es reißt. Anstelle der konstanten W. 1/2 aus dem Bernoulli-Experiment (führt übrigens auf die geometrische Verteilung für die Zahl der Versuche bis zum ersten Erfolg) nehmen wir die veränderliche W. p(L)=a^L, a=sqrt(1/2), fürs Nichtreißen. Dann wäre
P(reißt bei 1) = 1 - a,
P(reißt bei 2) = a * (1 - a^2),
P(reißt bei 3) = a * a^2 * (1 - a^3) ...., da ist mir die Formel EW=Summe(P(i)*i) etwas unbequem. Man kann aber leicht andere W. angeben, die summiert auch den EW ergeben:
P(nicht gerissen bis 1) = a,
P(nicht gerissen bis 2) = a * a^2 = a^3
P(nicht gerissen bis 3) = a * a^2 * a^3 = a^6 ...
Auch das ist aber für meinen Geschmack schon zu weit weg vom Beispiel und nicht so leicht auszurechnen.
Ich gehe also mal davon aus, dass die angegebene Wahrscheinlichkeit eher eine Verteilung als eine Dichte charakterisiert, d.h. man ist genau in der Situation wie im Beispiel, mit dem einzigen Unterschied, dass Erfolg und Misserfolg nicht gleich wahrscheinlich sind (a > 1/2). Folglich suchst du den EW einer geometrischen Verteilung (wenn L diskret sein soll, ansonsten siehe meinen ersten Kommentar). Dann ist
P(nicht gerissen bis L) = a^L und somit
EW der Reißlänge =
Summe L=1 bis oo von a^L = 1/(1-a)
(ohne Gewähr !)
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Sterntaler1106 (Sterntaler1106)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sterntaler1106

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 09:42:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

danke für deine Mühe.
Ich hatte meinen Prof schon so verstanden, dass er über was Diskretes geredet hat, neige aber doch eher dazu, das als kontinuierliche Sache anzusehen, ich kann mein Seil schließlich durchschneiden wo ich will und nicht nur bei vollen Metern.
Ich hab mich jetzt entschieden, p(L) wie in deinem ersten Posting gesagt als Verteilung aufzufassen, dafür spricht immerhin, dass das Integral über die p(L) nicht 1 ergibt, wie es das bei einer ordentlichen Dichte tun sollte, wenn man p(L) differenziert und dann integriert, dann kommt dagegen 1 heraus.
Und falls das so nicht stimmen sollte, dann sitze ich in dem Fach zur Zeit noch auf nem guten Punktepolster ;-)

Danke und viele Grüße, Sterntaler

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