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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4104
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 14:14: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 397
Gegeben ist ein Ellipsoid mit Mittelpunkt M(0/0/0) und den
Scheitelpunkten A(2/2/-1), B(4/--2/4), C(-3/6/6).
Ermittle die Gleichung des Ellipsoides.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1396
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 18:24: |
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Hi megamath,
ich rätsele nun schon eine Zeit! Kann es sein, dass die Halbachsen a=3 , b=6 , c=9 sind?
Mir fehlt nur ein richtiger Ansatz! Ist es wie bei der Ellipse? Scheitelpunkt = Schnitt von Hauptachse und Ellipse...
Eine kleine Hilfe wäre nicht schlecht!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4105
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 21:00: |
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Hi Ferdi
Eine kleine Hilfe:
Die Geraden OA,OB OC sind die Traeger der Hauptachsen;
sie stehen paarweise aufeinander senkrecht
Wir legen die Achsen eines neuen (X,Y,Z)-Systems auf diese
Geraden.
Die X-Achse liegt auf der Gerade OA, die Y-Achse auf OB, die
Z-Achse auf OC;
Basiseinheitsvektoren I,J,K .
Die Gleichung des Ellipsoids in diesem System lautet
X^2 / 9 +Y^2 / 36 + Z^2 / 81 = 1
Mit einer orthogonalen Transformation kehren wir zum
alten (x,y,z) - System zurück und finden die gesuchte Gleichung.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1397
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 02:29: |
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Hi megamath,
so ähnlich hatte ich auch schon gedacht! Nur die Rechnung lieferte keine vernünftigen Ergebnisse! Ich werde es heute abend auf ein neues probieren!
Meine Halbachsen waren ja schon mal richtig!
mfg
(Beitrag nachträglich am 06., Juni. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4106
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 08:35: |
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Hi Ferdi
Ich habe soeben die Berechnungen zu Ende gefuehrt
und das Resultat an Hand des Scheitels A(2/2/-1) ueberprueft.
Die Koordinaten von A befriedigen meine Gleichung
und der Gradient in A hat Komponenten, welche zum
Tripel {2;2;-1}proportional sind.
Was will man mehr?
Empfehlung: Vorsicht beim Aufstellen der orthogonalen Matrix;
Bedeutung der Zeilen und Kolonnen richtig einstufen.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1398
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 10:51: |
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Hi megamath,
dann schlage ich schnell noch vor:
184x^2 + 169y^2 + 88z^2 + 236xy - 88xz - 148yz = 2916
Jetzt muss ich los Sporttreiben, meine Herleitung und die Matrix dazu kommt dann später...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4107
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 12:44: |
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Hi Ferdi
Beinahe!
Das Resultat ist nicht ganz stubenrein!
Schreibe bei y^2 den Koeffizienten 676 und kuerze alles mit 4.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1399
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 16:35: |
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Hi megamath,
ich kann auf die schnelle meinen Fehler nicht finden!
Die Matrix der Drehung sah so aus:
| (2/3) | (2/3) | -(1/3) | | (2/3) | -(1/3) | (2/3) | | -(1/3) | (2/3) | (2/3) |
D.h ich konnte in: X^2/9 + Y^2/36 + Z^2/81 = 1 so einsetzen:
X = (2/3)x + (2/3)y - (1/3)z
Y = (2/3)x - (1/3)y + (2/3)z
Z = -(1/3)x + (2/3)y + (2/3)z
Erhalte dann die Gleichung:
36*(2x + 2y -z)^2 + 9*(2x - y + 2z)^2 + 4*(-x + 2y + 2z)^2 = 2916
Worraus meine Behauptung folgt, alle drei Punkte erfüllen meine Gleichung! Und der Gradient bei A ist: Grad[F(A)]= 648*{ 2 , 2 , -1 }
Hm, wo liegt der Fehler?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4108
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 17:06: |
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Hi Ferdi
Ganz einfach: er liegt bei mir und nur da.
(Uebertragungsfehler nennt man das unter Insidern)
Besten Dank fuer Deinen Beitrag mit der
richtigen Loesung.
MfG
H.R.Moser,megamath
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