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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4084
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 09:13: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 391 beziehen wir uns auf eine Aufgabe
mit dem Thema ebener Schnitt eines Hyperboloids,
die kürzlich in diesem Forum gestellt wurde.
Sie lautet:
Die Ebene E mit der Gleichung z = x/2 + y schneidet das
einschalige Hyperboloid x^2 + 2 y^2 - z^2 = 1 in einer Ellipse c.
Durch die nachfolgend beschriebene orthogonale Transformation
soll ein neues Koordinatensystem mit den Achsen X,Y,Z eingeführt werden.
Die Gleichungen des Hyperboloids und der Schnittellipse sind in den neuen
Koordinaten darzustellen.
Ziel der Transformation: c liegt in der (X, Y) - Ebene.
Zu diesem Zweck lassen wir die X-Achse mit der Schnittgeraden der Ebene E
mit der (x,z)-Ebene zusammenfallen. Die Z-Achse soll in der Ebenenormalen
von E durch O liegen. Daraus ergibt sich die Y-Achse eo ipso.
(alter und neuer Nullpunkt fallen selbstredend zusammen!).
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1384
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 11:47: |
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Hi megamath,
mal sehen ob ich dich richtig verstanden habe:
Wir suchen zunächst die Matrix M der orthogonalen Transformation , so dass:
- die X-Achse gleich der Schnittgeraden von E mit y=0 ist
- die Z-Achse gleich der Ebenennormalen von E durch O ist
- die Y-Achse ergibt sich als Vektorprodukt der beiden zuerst berechneten Vektoren
Dann wäre in meinen Augen:
Schnittgerade: x = r*(2,0,1)
Ebenennormale: x = s*(1,2,-2)
Damit wäre die Matrix Zeilenweise:
1/sqrt(5)*(2,0,1)
1/{3*sqrt(5)}*(-2,4,5)
1/3*(1,2,-2)
Das kommt mir nicht ganz geheuer vor, vorallem wegen der Normierungsfaktoren, die ja nötig sind! Oder habe ich die Aufgabe falsch versatnden?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4086
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 13:44: |
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Hi Ferdi
Deine Loesung entspricht meinen Intentionen! So habe ich das gemeint.
Die neuen Basiseinheitsvektoren, die in der Transformationsmatrix M
als Zeilenvektoren auftreten, seien mit I , J , K bezeichnet.
(I für die X-Achse, J für die Y-Achse, K für die Z-Achse).
I ist Richtungseinheitsvektor der Schnittgeraden z = x/2 , y = 0
K Normaleneinheitsvektor der Ebene E .
J ist das Vektorprodukt J = K x I (diese Reihenfolge der Faktoren)
Dann ist I = 1/sqrt(5) *{2;0;1] , K = 1/3{1;2;-2]
Abweichungen liegen bei J vor; ich erhalte:
J = 1/{3 sqrt(5)} * {2;-5;-4}
Bitte ueberpruefen!
Nun druecke man die alten Koordinaten durch die neuen aus
(es kommen die Spalten der Matrix M zum Zug!):
x = 2/sqrt(5)X +2/{3 sqrt(5)}Y + 1/3 Z
u.s.w.
Man setze die Terme für x , y, z in die gegebene Gleichung
des Hyperboloids ein und das Ziel Z ist mit Z = 0 erreicht!
Mfg
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1385
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 22:48: |
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Hi megamath,
dein Richtungsvektor für J stimmt!
Nach kleiner, aber feiner Rechnung erhalte ich für Z = 0 :
27 X^2 + 48 X Y + 38 Y^2 = 45
Dies stellt die erwartete Ellipse dar, was eine kurze Rechnung zeigt!
mfg
PS: Hast du heute das Fussballspiel gesehen? Die Eidgenossen haben es unseren Kickern nicht leicht gemacht! Vielleicht spielen wir bei der EM wieder gegeneinander... |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4088
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 07:07: |
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Hi Ferdi
Ich habe dasselbe Resultat.
Panther kann somit das Ergebnis getrost übernehmen,
aber nicht bevor sie alle Rechnungen nachvollzogen hat!
Die Eidgenossen sind grundsätzlich unberechenbar.
Sie verloren gleichwohl erwartungsgemaess im
Freundschaftsspiel gegen Deutschland wohlweislich
0 : 2 schon deswegen, damit die Null nicht im Nenner steht.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Panther (Panther)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Panther
Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 21:37: |
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Hallo,
hab mit eurer Hilfe den Teil a) dann auch gelöst und auch die Aufgabe b) selbst probiert. Kam auch zu einem Ergebnis und hab dieses sofort meinem Prof gezeigt und dieser meinte, das sei richtig. Deshalb hier die Lösung:
E: 1/2x + y - z = 0
Normalenvektor zur Ebene: 2/3(1/2,1,-1)
v1 = 1/3(2,1,2) ist normierter Vektor, der die Ebenengleichung erfüllt. v2=v1Xn
sv1 + tv2 E H
1/3(2s-2t, s-2t, 2s-3t) E H (dies nun in H einsetzen)
(1/9)(2s-2t)² + (2/9)(s-2t)² - (1/9)(2s-3t)² = 1
=> Gleichung der Schnittellipse des Hyperboloids mit der Ebene in dem Koordinatensystem, das durch diese Basis definiert ist: 2s² + 3t² + 12st - 9 = 0
Einfaches einsetzen der Ebenengleichung in die Hyperboloidgleichung geht nicht, da das Einsetzen 1. die Längen nicht erhält und 2. die Gleichung in der falschen Basis angegeben wird.
(Dies scheint die Erklärung zu sein)
Trotzdem vielen lieben Dank für eure Hilfe! Ohne diese, wäre ich nicht auf die Lösung gekommen! |
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