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Panther (Panther)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Panther
Nummer des Beitrags: 152
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 17:01: | 
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Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Komme nicht weiter.
Im euklidischen R³ werde das einschalige Hyperboloid mit der Gleichung x² + 2y² - z² = 1 betrachtet.
a) Für welche m ? R schneidet die Ebene mit der Gleichung z =mx + y das Hyperboloid in einer Ellipse?
b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis der Ebene mit der Gleichung z = x/2 + y und geben Sie die Gleichung der Schnittellipse des Hyperboloids mit dieser Ebene in dem Koordinatensystem an, das durch diese Basis definiert wird.
Vielen Dank schon mal! |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1381
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 22:08: |
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Hi Panther,
setzen wir z = mx + y in die Hyperboloidgleichung ein:
(1-m^2)x^2 + y^2 - 2mxy = 1
Diesen Term[Quadratische Form] müssen wir untersuchen, d.h. für welche m er eine Ellipse darstellt! Wir benutzen dazu die Hauptachsentransformation!
Dazu stellen wir die Matrix der Quadratischen Form auf, sie lautet hier:
Von dieser Matrix M müssen wir die Eigenwerte berechenen sie bilden nacher die Koeffizienten vor den Quadrattermen und geben Auskunft über Art des Kegelschnittes!
Charakteristische Polynom von M:
L^2 - (2 - m^2)L + (1-m^2) = 0
==> Eigenwerte:
L1 = 1 , L2 = 1-m^2
Damit wird die Quadratische Form zu:
x^2 + (1-m^2)y^2 = 1
Um eine Ellipse zu erhalten muss ja nun der Term vor y^2 größer als 0 sein, daraus erhalten wir die gesuchte Bedingung:
m^2 < 1
Daraus: m > -1 und m < 1 ==> -1 < m < 1 (m ungleich 0)
Das ist die gesuchte Bedingung! Für m=0 entsteht ein Kreis, wie man leicht sieht!
mfg
(Beitrag nachträglich am 01., Juni. 2004 von tl198 editiert) |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 896
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 01:38: |
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Mit den Eigenwerten kann irgendetwas nicht stimmen, T|.
Die Matrix
ist zu Beispiel für m=1 offensichtlich regulär, kann also nicht den Eigenwert 0 (1-1²)haben.
Der Fehler liegt im char. Polynom, welches korrekt t²+t(m²-2)+1-2m² lauten müsste.
Somit wären die Eigenwerte (etwas unhandlich)
l=(1/2)*(2-m²±mÖ(m²+4))
Die weitere Bedingung lautet dann
(2-m²)² > m²(m²+4)
<=> 4-4m²+m4 > m4+4m²
<=> 8m² < 4 => -(1/2)Ö2 < m < (1/2)Ö2
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4083
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 08:03: |
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Hi Ferdi, Hi Ingo
Ich moechte die Teilaufgabe a) neu aufrollen und meine
Sicht der Dinge darstellen.
Die Teilaufgabe b) soll neu formuliert und als Aufgabe LF 391
neu aufgelegt werden.
Wenn wir auf dem eingeschlagenen Weg weiter pilgern,
besteht die Gefahr, dass die falsche Ellipse analysiert wird.
ad a)
Die fragliche Schnittkurve des Hyberboloids Hy und der Ebene E
sei c.
Wenn wir aus der Gleichung des Hyperboloids und der
Ebenengleichung die Variable z eliminieren, erhalten wir die richtig
angegebene Gleichung zweiten Grades in x und y mit m als Parameter.
Sie lautet:
(1-m^2)x^2 - 2 m x y + y^2 - 1 = 0.....(I)
Was stellt diese Gleichung dar?
Wir erhalten primaer eine Flaeche Z zweiter Ordnung, welche durch
die Kurve c geht. Z bestimmt zusammen mit Hy oder mit E die Kurve c.
Z ist ein Zylinder und (1) stellt zugleich die Leitkurve k von Z in der
(x,y)-Ebene dar.
Um die Teilaufgabe a) zu loesen, muessen wir fordern, dass Z ein
elliptischer Zylinder wird, d.h. dass k eine Ellipse ist.
Achtung:
k ist nicht die Ellipse c der Teilaufgabe b)!
In der Gleichung (I) bezeichnen A, B, C ususgemaess die
Koeffizienten:
A =1 - m^2 ; B = - m ; C = 1.
Der Typus des Kegelschnitts kann ohne Gebrauch der Eigenwerte
bestimmt werden, naemlich so.
Wir berechnen die Determinante
Delta = A C - B^2 = 1 - m^2 - m^2 = 1 - 2 m^2
Eine Ellipse entsteht fuer Delta > 0, also fuer
m^2 < 1/2
Mfg
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1382
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 08:58: |
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Hi,
Sorry war ein dummer Rechenfehler!
Aber die Idee dahinter war ja richtig! Ich denke mal Panther hätte das auch bemerkt!
mfg |
Panther (Panther)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Panther
Nummer des Beitrags: 154
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 09:28: |
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Hallo,
danke für eure Hilfe!
Ich war auch schon so weit, dass ich die Gleichungen ineinander eingesetzt habe und dann die Matrix bestimmt habe (da hab ich die gleiche wie Tl198). Dann hab ich allerdings andere Eigenwerte und wußte dann nicht mehr, wie es weiter geht.
Nochmals vielen lieben Dank euch allen! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4087
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 13:49: |
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Hi Panther
Wir haben die Teilaufgabe b) so weit vorangetrieben,
dass das Ziel nahe liegt.
Siehe weiter unten ,Aufgabe
Lockere Folge 391.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Panther (Panther)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Panther
Nummer des Beitrags: 158
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 21:42: |
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Hi Megamath, hi Ingo!
Hab das nochmal nachgerechnet und komme jetzt auf das gleiche Ergebnis wie ihr. Ich hätte - nachdem ich die abc-Formel angewendet habe - einfach nur noch die Folgerungen machen müssen, und das hab ich nicht mehr, weil ich dachte, dass meine Rechnung falsch ist.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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