| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4031
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 11:46: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 372 lautet:
Man leite aus dem unendlichen Produkt für sin (Pi z),
d.h. aus der Formel
sin (Pi z) = Pi*z * product [1 - z^2/n^2], [n=1..inf]
eine analoge Formel für cos (Pi z) her.
Diese Formel lautet:
cos (Pi z) = product [1 - 4 z^2 / (2n-1)^2], [n=1..inf]
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1359
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 12:33: |
|
Hi megamath,
ich hätte da schon eine Idee, ich weiß nur nicht, ob ich so mit unendlichen Produkten rechnen darf, bzw sie so bearbiten darf...
Nutzt man:
sin(pi*z) = 2 * sin(pi*z/2) * cos(pi*z/2)
Wir kennen
sin(pi*z) = pi*z * product[1 - z^2/n^2] [n=1..inf]
sin(pi*z/2) = pi*z/2 * product[1 - (z/2n)^2] [n=1..inf]
Wenn man nun das Produkt von sin(pi*z) so umformen darf:
product[1 - (z/n)^2] [n=1..inf] =
prod[1 - (z/2n)^2] * prod[1 - (z/(2n-1))^2] [n=1..inf]
Jetzt kann man durch prod[1 - (z/2n)^2] [n=1..inf] teilen, es bleibt:
cos(pi*z/2) = product[1 - (z/(2n-1))^2] [n=1..inf]
setzen wir nun z = 2t
cos(pi*t) = product[ 1 - 4t^2/(2n-1)^2 ] [n=1..inf]
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4033
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 13:52: |
|
Hi Ferdi
Gratulation!
Deine Rechnung mit der halben Pizza kommt mir vor, wie der Ritt
über den Bodensee!
Siehe das Gedicht von Gustav Schwab in Google unter
http://www.dein-allgaeu.de/freizeit/freizeit_reiten_1.html
Ich vermute, dass alles seine Ordnung hat und die Herleitung
im Einzelnen zulässig ist, nach dem Motto:
der Zweck heiligt die Mittel.
Vielleicht weiß das jemand besser.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
