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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4012
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 07:37: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 367 soll eine algebraische Kurve
dritter Ordnung untersucht werden.
Die Gleichung der Kurve lautet:
x^2 * y + x * y^2 = 2
Man bestimme
a) Punkte A1,A2, …der Kurve mit Tangenten parallel zur x-Achse,
b) Punkte B1,B2, …der Kurve mit Tangenten parallel zur y-Achse,
c) Punkte C1,C2,… der Kurve, für welche die zweite Ableitung y´´ null ist.
d) die Asymptoten
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1353
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 13:25: |
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Hi megamath,
bis auf c) hab ich alles geschaft:
x^2*y + x*y^2 = 2
y' = (2xy + y^2)/(2xy + x^2)
a)
y' = 0
2xy + y^2 = 0
2x + y = 0 für y ungleich 0!
y = -2x ==> Das in die Kurvengleichung
==> x = 1 ==> A1 ( 1 | -2 )
b)
1/y' = 0
x^2 + 2xy = 0
x + 2y = 0 für x ungleich 0
x = -2y
==> y = 2 ==> B1 ( -2 | 1 )
Die Asymptoten:
Dividieren wir x^2y + xy^2 = 2 durch x^3 und lassen y/x ad infintum laufen so entsteht die Steigung m der Asymptote der Rest wird null!
m + m^2 = 0 ==> m = 0 oder m =-1
Wir haben also die x-Achse, y-Achse und die Gerade y = -x als Asymptoten!
zu c)
Ich erhalte:
y'' = - (4xy' + 2y + 4yy' + 2xy'^2)/(x^2 + 2x)
Nur da kann ich nichts mit anfgangen y''=0...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4014
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 13:43: |
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Hi Ferdi
Deine Ergebnisse sind alle richtig;bravo!
Zu d) werde ich mich später noch äussern.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4015
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 17:38: |
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Hi Ferdi
Einiges wird sofort klar, wenn man beachtet, dass die Kurve
zur Geraden y = x achsensymmetrisch ist.
Bei der betreffenden Abbildung (x  y, y x) wird aus einem Punkt,
dessen Tangente zur x-Achse parallel ist, ein solcher,
dessen Tangente zur y-Achse parallel ist.
Es ist zu empfehlen, die gegebene Relation durch Auflösung nach y
in ein Funktionspaar y = f1(x),y = f2(x) zu zerlegen;
die Funktionen sind:
f1(x) = - ½ x + ½ sqrt(x^2+ 8/x)
f1(x) = - ½ x - ½ sqrt(x^2+ 8/x)
Man realisiere den gemeinsamen Definitionsbereich; auszunehmen
sind x-Werte aus dem halboffenen Intervall (-2,0].
Keiner dieser Äste besitzt einen Wendeüpunkt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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