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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3981
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 16:40: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 357 (F 39) lautet.
Darf man die Integration in den Grenze a bis b und
die Limesbildung für n ad infinitum
bei der Funktionenfolge
sn (x) = sum [(-1)^k * x^k / k],
k = 1 bis n
und dem Integral:
int [sn (x) dx]
untere Grenze a = 0, obere Grenze b=1.
vertauschen?
Die Antwort ist zu begründen.
Welches Resultat entsteht, wenn dieser
Prozess gestattet ist?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 852
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 17:58: |
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Megamath,
Ja, man darf.
Es ist einerseits
s(x) := limn->¥ sn(x) =
S¥ k=1 (-1)kxk/k = - ln(1+x) =>
ò0 1 s(x)dx = 1 - 2 ln 2,
andererseits
ò0 1 sn(x)dx =
Sn k=1 (-1)k*1/k(k+1) =
Sn k=1 (-1)k[1/k-1/(k+1)] =
1 + 2*Sn k=1 (-1)k/k ® 1 - 2 ln 2.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1339
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 18:46: |
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Hi,
darf man aus Orions Lösung schliessen, dass der Tausch erlaubt ist, weil am Ende das gleiche Resultat erscheint??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3982
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 2004 - 14:05: |
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Hi Ferdi,
Das kann mit Fug geschlossen werden.
Der tiefere Grund liegt darin,dass die
Funktionenfolge im Integranden im
Integationsintervall gleichmässig konvergiert
MfG
H.R.Moser,megamath |
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