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Ungleichung (eilig)

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Freddy123 (Freddy123)
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Benutzername: Freddy123

Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 16:07:   Beitrag drucken

Hallo,

ich müßte folgende Ungleichung zeigen, krieg's aber irgendwie nicht hin... jemand en tip für mich bitte?

Abs(e^(-x²) - 1 + x*sin(x))
--------------------------- =< Abs(x)
Abs(Sqrt(1-x²)-1)

dabei sei 0<x=<1


(Abs=Betrag, Sqrt=Wurzel, ------=Bruchstrich, =< kleiner/gleich)

Schnelle Hilfe wäre super. Vielen Dank schonmal.

Freddy
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Freddy123 (Freddy123)
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Benutzername: Freddy123

Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 16:17:   Beitrag drucken

umm missverständnissen vorzubeugen:

(Abs((e^(-x²)) - 1 + x*sin(x))) / (Abs((Sqrt(1-x²))-1)) =< Abs(x)

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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 850
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 09:18:   Beitrag drucken

Freddy,

Eine geradezu sadistische Aufgabe !

Im betrachteten Intervall ist zunächst offenbar

|x| = x , | sqrt(1-x2)-1 | = 1 - sqrt(1-x2).

Schwieriger ist der Zähler. Ich betrachte die
Hilfsfunktion

h(x) := ex2 (1 - x sin x)

und behaupte : h(x) < 1 . Es ist h(0)=1 sowie

h'(x) = [2x - (2x2+1)sin x - x cos x]*ex2

Nun gilt (siehe Potenzreihen für sin und cos ):

sin x > x-(1/6)x3 , cos x > 1-(1/2)x2.

Daraus folgt für den Term in [ ] (um Nachrechnung wird gebeten !):

[ ] < (1/12)x3(4x2-7) < 0

Also ist h'(x) < 0, d.h. h(x) ist fallend und somit h(x)<1
für 0<x £1. Daraus folgt nun, dass

e-x2 -1 + x sin x > 0,

d.h. man darf die Betragsstriche im Zähler des
Ausgangsbruches weglassen. Zu zeigen bleibt
demnach :

e-x2 - 1 + x sin x £ x[1-sqrt(1-x2)]

Das sieht nicht mehr ganz so wüst aus, ich bin aber
im Augenblick mit der Zeit etwas knapp.
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 851
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 14:06:   Beitrag drucken

Fortsetzung :

Um die letztere Ungleichung zu beweisen, erweitern wir sie mit ex2 und stellen um :

ex2 [1-x sin x + x -x sqrt(1-x2)] > 1.

Die linke Seite werde mit g(x) bezeichnet.
Dann ist g(0) = 1 und weiter (nachrechnen !)

g'(x) = ex2 * [ 1+2x+2x2+x2/sqrt(1-x2)

- (2x2+1)(sin x + sqrt(1-x2))-x cos x].

Dies schätzt man nach unten ab, indem man

sin x < x , cos x < 1 ,

sqrt(1-x2) < 1 - (1/2)x2

benutzt. Für den Term in [ ] bekomme ich schlussendlich

[ ] > x2[(1-x)2 + 1/2] > 0.

Daher ist g'(x) > 0, d.h. g(x) streng wachsend =>

g(x) > g(0) = 1 Q.E.D.

Bitte nachprüfen ! Bei solchen Rechnungen können
leicht Fehler unterlaufen.
mfG Orion
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Freddy123 (Freddy123)
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Mitglied
Benutzername: Freddy123

Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 23:14:   Beitrag drucken

Vielen Dank für eure Hilfe!

Es geht darum, dass jemand vielleicht einen Schein trotz verpeilter Klausur noch bekommt, wenn wir das beweisen können.

Wir werden morgen nochmal drüber nachdenken, und sehr wahrscheinlich das Problem lösen können.

Also. Besten Dank für die Mühe. Ihr habt einen gut bei mir. Wenn ich etwas für Euch tun kann, mailed mir at "fredzn@freakmail.de" und bezieht Euch auf "die Ungleichung" :-)

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