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Freddy123 (Freddy123)
Mitglied Benutzername: Freddy123
Nummer des Beitrags: 40 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 16:07: |
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Hallo, ich müßte folgende Ungleichung zeigen, krieg's aber irgendwie nicht hin... jemand en tip für mich bitte? Abs(e^(-x²) - 1 + x*sin(x)) --------------------------- =< Abs(x) Abs(Sqrt(1-x²)-1) dabei sei 0<x=<1 (Abs=Betrag, Sqrt=Wurzel, ------=Bruchstrich, =< kleiner/gleich) Schnelle Hilfe wäre super. Vielen Dank schonmal. Freddy |
Freddy123 (Freddy123)
Mitglied Benutzername: Freddy123
Nummer des Beitrags: 41 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 16:17: |
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umm missverständnissen vorzubeugen: (Abs((e^(-x²)) - 1 + x*sin(x))) / (Abs((Sqrt(1-x²))-1)) =< Abs(x)
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 850 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 09:18: |
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Freddy, Eine geradezu sadistische Aufgabe ! Im betrachteten Intervall ist zunächst offenbar |x| = x , | sqrt(1-x2)-1 | = 1 - sqrt(1-x2). Schwieriger ist der Zähler. Ich betrachte die Hilfsfunktion h(x) := ex2 (1 - x sin x) und behaupte : h(x) < 1 . Es ist h(0)=1 sowie h'(x) = [2x - (2x2+1)sin x - x cos x]*ex2 Nun gilt (siehe Potenzreihen für sin und cos ): sin x > x-(1/6)x3 , cos x > 1-(1/2)x2. Daraus folgt für den Term in [ ] (um Nachrechnung wird gebeten !): [ ] < (1/12)x3(4x2-7) < 0 Also ist h'(x) < 0, d.h. h(x) ist fallend und somit h(x)<1 für 0<x £1. Daraus folgt nun, dass e-x2 -1 + x sin x > 0, d.h. man darf die Betragsstriche im Zähler des Ausgangsbruches weglassen. Zu zeigen bleibt demnach : e-x2 - 1 + x sin x £ x[1-sqrt(1-x2)] Das sieht nicht mehr ganz so wüst aus, ich bin aber im Augenblick mit der Zeit etwas knapp. mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 851 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 14:06: |
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Fortsetzung : Um die letztere Ungleichung zu beweisen, erweitern wir sie mit ex2 und stellen um : ex2 [1-x sin x + x -x sqrt(1-x2)] > 1. Die linke Seite werde mit g(x) bezeichnet. Dann ist g(0) = 1 und weiter (nachrechnen !) g'(x) = ex2 * [ 1+2x+2x2+x2/sqrt(1-x2) - (2x2+1)(sin x + sqrt(1-x2))-x cos x]. Dies schätzt man nach unten ab, indem man sin x < x , cos x < 1 , sqrt(1-x2) < 1 - (1/2)x2 benutzt. Für den Term in [ ] bekomme ich schlussendlich [ ] > x2[(1-x)2 + 1/2] > 0. Daher ist g'(x) > 0, d.h. g(x) streng wachsend => g(x) > g(0) = 1 Q.E.D. Bitte nachprüfen ! Bei solchen Rechnungen können leicht Fehler unterlaufen. mfG Orion
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Freddy123 (Freddy123)
Mitglied Benutzername: Freddy123
Nummer des Beitrags: 42 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 23:14: |
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Vielen Dank für eure Hilfe! Es geht darum, dass jemand vielleicht einen Schein trotz verpeilter Klausur noch bekommt, wenn wir das beweisen können. Wir werden morgen nochmal drüber nachdenken, und sehr wahrscheinlich das Problem lösen können. Also. Besten Dank für die Mühe. Ihr habt einen gut bei mir. Wenn ich etwas für Euch tun kann, mailed mir at "fredzn@freakmail.de" und bezieht Euch auf "die Ungleichung" :-) |
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