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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3974
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 20:23: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe LF 354 (F 36 ) lautet.
Es liegt das Integral
M(n) = int [dz / (z^2+1) ^ n ] vor.
Man drücke M(n) durch M(n-1) aus
für beliebige natürliche Zahlen n > 1.
Man zeige damit, dass J(n) sich durch
rationale Funktionen von z und arc tan z
ausdrücken lässt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 847
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 08:19: |
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Megamath,
Wir formen M(n) durch partielle Integration um:
u := (1+z2)-n , v' := 1 =>
u' : - 2n z (1+z2)-n-1 , v = z.
Im Zähler des Restintegrals schreiben wir
z2 = 1+z2 - 1
und erhalten so
M(n) = z (1+z2)-n + 2n M(n) - 2n M(n+1).
Die gesuchte Rekursionsformel lautet somit
M(n+1) =
(1 - 1/2n) M(n) + (1/2n) z (1+z2)-n
woraus wegen M(1) = arctan z induktiv die weitere Behauptung folgt.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3975
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 10:05: |
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Hi Orion
Danke für die konzise Herleitung der
Rekursionsformel!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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