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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3972
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 13:41: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 353 (F 35) lautet:
Mit der Funktion f(x) = sqrt [(1-x) / (1+x) ] als Integrand
bildet man die bestimmten Integrale
J1: untere Grenze 0 , obere Grenze 1
und
J2: untere Grenze -1, obere Grenze 0.
Man berechne die exakten Werte für J1 und J2.
Schliesslich delektiere man sich
an der Summe J* = J1 + J2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 846
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 14:45: |
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Megamath,
die trigonometrische Formel
(1-cos t)/(1+cos t) = tan2 (t/2)
legt die Substitution x = cos t nahe. Das führt schnell
zur Stammfunktion
F(x) = sqrt(1-x2) - arccos x
und ergibt
J1 = p/2 - 1 , J2 = p/2 + 1.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1333
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 15:58: |
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Hi Orion und Megamath,
man könnte J* auch so berechnen:
Sei 1 + x = 2u ==> 2 - 2u = 1-x ==> dt = 2 du
[-1..1] ==> [0..1]
2 * int[ sqrt ( {2 - 2u) / 2u } du ] [0..1]
2 * int[ u^(-1/2) * (1-u)^(1/2) du]
Das ist gerade 2 * Beta( (1/2) ; (3/2) )
J* = 2 * G(1/2) * G(3/2) / G(2)
J* = pi
Was mit Orions Berechnung übereinstimmt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3973
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 19:58: |
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Hi Orion, Hi Ferdi
Besten Dank für die Präsentation dieser eleganten
Berechnungen!
Damit das Vergnügen beim Rechnen nicht zu kurz kommt,
habe ich etwas umständlicher gerechnet.
Substitution
sqrt [(1-x) / (1+x) ] = u, daraus x = (1-u^2) / (1+u^2),
dx = - 4 u du / (1+u^2) ^ 2.
Wir stossen auf das Integral
int [u^2 du / (1+u^2)^2], das wir souverän mit
partieller Integration lösen (u^2 = u * u ).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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