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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3966
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Mai, 2004 - 16:08: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 350 (F 32) lautet:
Man beweise die Existenz des uneigentlichen Integrals
erster Gattung
E*:= int [e ^ x / (1 - x )^(1/3) dx]
mit unterer Grenze 0, oberer Grenze 1.
Man berechne sodann einen Näherungswert E° für E*,
indem der Zähler des Integranden durch den Anfang
der MacLaurin-Entwicklung bis und mit der achten Potenz
von x ersetzt wird; der Nenner bleibt derselbe.
Der neue Quotient soll in den gegebenen Grenzen integriert
und numerisch ausgewertet werden.
Wie gut wird die Näherung?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1330
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Mai, 2004 - 22:33: |
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Hi megamath,
ich habs so gemacht:
Zuerst:
1-x = t ==> dx = -dt ==> [0..1] = [1..0]
e * int[ e^(-t) * t^(-1/3) dt] [0..1]
Nun gilt aber:
t^(x-1) >= t^(x-1)/e^(t) für t > 0
Hier ist x = 2/3, da
int[ t^(-1/3) dt] [0..1] = 1,5
existiert also auch int[ e^(-t)*t^(-1/3) dt] [0..1]!
Führt man nun die MacLaurin Rechnung durch:
e*int[ (1 - t + t^2/2!...+t^8/8!)*t^(-1/3) dt][0..1]
e*int[ t^(-1/3) - t^(2/3) + t^(5/3)/2!... dt] [0..1]
Eine Auswertung liefert:
E* ~ 1,049689 * e
E* ~ 2,85335
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3967
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 09:26: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnung von E* ist prinzipiell richtig.
Ich habe (mit Maple) das folgende Resultat:
E* = 1 429 471 779 / 5 009 804 880 ´
~2,853348256
NB:es muss gelten:
E*<E (nicht umgekehrt).
Als Ergebnis für E erhalten wir,ebenfalls mit Maple:
E ~ 2,853349152.
Der Nachweis der Konvergenz gelingt auch ohne
Substitution.
Abschätzung nach oben:
E < H* = int [e / (1-x)^(1/3) dx ] über [0,1]
Wir berechnen H(r) = int [e / (1-x)^(1/3) dx]
untere Grenze 0, obere Grenze 1- r;
Ergebnis:
H(r) = 3/2 e [1 – r^(3/2)];mithin:
H* = lim H(r) = 3/2 e.
(Limes für r strebt gegen null).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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