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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3951
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 19:21: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 347 (F 29) lautet:
Man ermittle den exakten Wert des Integrals
J:= int [{e ^ (- ¼ t) – e ^ (- ¾ t)} / {1 – e ^ (-t) } dt]
untere Grenze null, obere Grenze unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1320
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 22:02: |
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Hi megamath,
Schreibt man das Integral so:
int[ ({e^(-t)}^(1/4) - {e^(-t)}^(3/4))/(1-e^(-t)) dt] [0..inf]
Setzt man nun:
e^(-t) = x^4 ==> t = -ln(x^4) ==> t = -4*ln(x)
dt = -4/x dx
[0..inf] ==> [1..0]
int[ (x - x^3)/(1-x^4) * -4/x dx ] [1..0]
-4*int[ (1-x^2)/(1-x^4) dx ] [1..0]
4*int[ (1-x^2)/{(1-x^2)*(1+x^2)} dx ] [0..1]
4*int[ 1/(1+x^2) dx ] [0..1]
Da int[ 1/(1+x^2) dx] = arctan(x) ergibt sich:
J = 4*arctan(1) - 4*arctan(0)
Da arctan(1) = pi/4 und arctan(0) = 0 folgt:
J = PI
Sehr schön!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3954
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 16:41: |
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Hi Ferdi
Du bist auf schnellstem Weg zum richtigen Ergebnis gekommen.
Besten Dank für Deine Lösung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3955
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 20:17: |
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Hi allerseits
Eine Zusatzaufgabe:
Auch Miss Marple hat ususgemäss ein Ergebnis!
Sie zeigt als Resultat des entsprechenden
unbestimmten Integrals
U = int [{e ^ (- ¼ t) – e ^ (- ¾ t)} / {1 – e ^ (-t) } dt]
mit I = sqrt(-1):
U = U(t) = 2 I ln (e ^ (- ¼ t) – I ) - 2 I ln (e ^ (- ¼ t) + I )
Man zeige durch Handrechnung, dass das stimmt und ermittle
daraus den Wert Pi des vorgelegten uneigentlichen Integrals.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1324
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. April, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath,
bildet man U'(t)
(1/2)I* [ e^(-t/4)/{e^(-t/4)-I} - e^(-t/4)/{e^(-t/4)+I} ]
auf einen Nenner bringen, und I^2=-1 nutzen:
(1/2)I* [ -2*I*e^(-t/4) / { 1+e^(-t/2) } ]
U'(t) = e^(-t/4) / { 1+e^(-t/2) }
mit { 1-e^(-t/2) } erweitern
U'(t) = [e^(-t/4) - e^(-3t/4)]/{1-e^(-t)} q.e.d.
Das uneigentlich Integral wäre dann:
U(inf) - U(0)
Das läuft dann auf komplexen Logarithmus hinaus, wenn ich mich nicht verechnet habe:
U = 2I*(ln(-1) - ln(1-i) + ln(1+i))
2I*(pi*I - ln(sqrt(2)) - (7/4)pi + ln(sqrt(2)) + (1/4)pi)
2I*(-(1/2)pi*I)
U = pi q.e.d.
Wenn man z.B. ln(1-i) = ln(sqrt(2)) + (7/4)pi*I + 2k*pi*I vorraussetzen darf!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3957
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2004 - 13:02: |
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Hi Ferdi
Deine Herleitung ist in Ordnung; danke!
Ich bin von verschiedenen Seiten gebeten worden,
auf die Berechnung dieses Integrals durch Marple näher
einzugehen, die Angelegenheit ganz zu klären und
eventualiter für das Integral besondere Lösungsmethoden
vorzuführen.
Das werde ich gerne tun
Es benötigt aber Zeit, die ich hoffentlich bald
dafür reservieren kann.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3958
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2004 - 15:30: |
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Hi allerseits
Ein Vorspann:
Es geht um zwei Umrechungsformeln rund um die
Areatangenshyperbolicus-Funktion und um die
Arcustangensfunktion.
Es sind dies die Formeln (i = sqrt(-1)):
(I)
artanh z = ½ ln {1 + z) / (1-z)}
(II)
arctan z = ½ i ln {1 - i z) / (1 + i z)}
Die erste Formel haben wir kürzlich im letzten Beitrag der
Aufgabe LF 346 benötigt; die zweite benötigen wir in dieser Arbeit.
Man findet die Formeln nicht nur in Formelsammlungen,
die es in sich haben, sondern man kann sie auch in Maple
abrufen und zwar mit dem Befehl
„convert“:
convert(arctanh z, ln) = ½ ln {(1+ z) / (1 - z)}
convert(arctan z, ln) = ½ i ln {1 - i z) / (1 + i z)}
Damit interessieret Leserinnen und Leser etwas von
ihrer Lektüre profitieren können, leite ich wenigstens eine
der beiden Formeln ausführlich her, und zwar die zweite.
Das ist sicher eine willkommene Hilfe für die
Studierenden, die bei Z. etwas lernen möchten, hihi.
w = arctan z ist gleichbedeutend mit z = tan w.
Wir schreiben der Reihe nach
z = sin w / cos w = [(e^(iw)-e^(-iw)/(2 i)] / [(e^(iw)+e^(-iw)/2]
Zur Abkürzung setzen wir e^(iw) = T und merken uns jetzt schon:
i w = ln T.
Die Zeile mit z lautet nun:
z = [ T – 1 / T ] / [ (T + 1 / T) i ] , daraus:
T ^ 2 = (1 + i z) / ( 1 – i z ) ;
schließlich mit i w = ln t:
w = 1/i ln t = - i ln T = ½ i ln {1 - i z) / (1 + i z)},
vorausgesetzt: man hat die Logarithmusgesetze intus!
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3959
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2004 - 17:21: |
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Hi allerseits
In der Fortsetzung soll das Ergebnis U von Maple
bei der Berechnung des unbestimmten Integrals
U= int [{e ^ (- ¼ t) – e ^ (- ¾ t)} / {1 – e ^ (-t) } dt]
analysiert werden.
Maple liefert als Resultat:
U = U(t) = 2 i ln (e ^ (- ¼ t) – i ) ln (e ^ (- ¼ t) + i )
also: U = 2 i ln { (e^ (- ¼ t) – i) / (e^(- ¼ t ) + i)}
oder:
U = 2 i ln { (1 – i e^ (¼ t) ) / (1 + i e^(¼ t ) }
Das ist aber nach der Formel (II) gerade
4 arc tan [ e ^ ( ¼ t) ]
Das ursprünglich gesuchte bestimmte Integral,
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
wird zu
J = 4* [ ½ Pi – ¼ Pi ] = Pi.
Bravo!
MfG
H.R Moser,megamath
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