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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3945
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 13:52: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 344 (F 27)
Man zeige, dass die folgenden Integralterme
dasselbe „hübsche“ Resultat liefern:
R1 = int [x / (x^3+1) dx ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
R2 = ½ int [ cosh (4/3 u) /{cosh u}^2 du ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
R3 = - 2/9 *GAMMA (2/3) * GAMMA (-2/3)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1317
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 14:20: |
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Hi megamath,
noch kurz vor der Gartenarbeit:
R1:
Setze x^3 = u ==> dx = (1/3) * u^(-2/3) du
(1/3)*int[ u^(-1/3) / (1+u) du ] [0..inf]
(1/3) * B ( (2/3) ; (1/3) )
(1/3) * G(2/3) * G(1/3)
R2:
Hier haben wir p = (4/3) ; s = 2 in LF 343
R2 = (1/2) * B ( (5/3) ; (1/3) )
R2 = (1/2) * G(5/3) * G (1/3)
Nutzt man hier G(x) = (x-1)*G(x-1)
R2 = (1/3) * G(2/3) * G(1/3)
R3:
-2/9 * G(2/3) * G(-2/3)
(1/3) * G(2/3) * [(-2/3) G(-2/3)]
In der hintere Klammer ist aber gerade G(1/3)!
R3 = (1/3) * G(1/3) * G(2/3)
Damit ist gezeigt:
R1 = R2 = R3
Und wegen G(1/3)*G(2/3) = 2pi / sqrt(3)
R1 = R2 = R3 = (2/9) * sqrt(3) * pi
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3948
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 20:39: |
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Hi Ferdi
Deine Herleitung der Ergebnisse leuchtet ein und ist i0.
Besten Dank!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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