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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3944
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 10:32: | 
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Hi allerseits
Als Aufgabe LF 343, Integral F 27
erscheint die angekündigte Verallgemeinerung
des Integrals CH der Aufgabe LF 342
Man berechne das Integral
CH* := int [cosh (p u) / {cosh (u)}^s du ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
für abs(p)<s.
Man zeige, dass CH* mit dem Wert
2^(s-2) * Beta [½ (s+p),½ (s-p)] übereinstimmt.
Vorschlag zur Güte: Wähle als Einstieg s=1.
Anmerkung:
wählt man p = ½ und s = 1,
so entsteht Aufgabe LF 342;
Resultat: CH = ½ * Berta (¾ , ¼)
= ½ GAMMA(¾)*GAMMA(¼) / GAMMA 1 =
½ Pi sqrt(2).
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1316
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 13:53: |
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Hi megamath,
mir fehlte immer die Zweierpotenz! Aber jetzt habe ich sie gefunden!!!
int[cosh(pu) / cosh(u)^s du] [0..inf]
Nutzen wir: cosh(u) = [e^u + e^(-u)]/2 und die Symetrie:
2^(s-2) int[ (e^(2pu)+1) / (e^(2u)+1)^s * e^(s-p)u du] [-inf..inf]
Nun e^u = t ==> du = du / e^u
[-inf..inf] ==> [0..inf]
2^(s-2) int[ (t^(2p)+1)/(t^2+1)^s t^(s-p-1) dt] [0..inf]
Wir teilen das Integral auf:
A:
int[t^(s+p-1) / (t^2+1)^s dt] [0..inf]
B:
int[t^(s-p-1) / (t^2+1)^s dt] [0..inf]
In beiden t = a^(1/2) ==> dt = 1/(2*a^(1/2))
A:
1/2 int[ a^{(1/2)*(s+p) - 1} / (a+1)^s ] [0..inf]
B:
1/2 int[ a^{(1/2)*(s-p) - 1} / (a+1)^s ] [0..inf]
Das ist aber gerade die vor kurzem hergeleitete Form der Betafunktion für a = (1/2)*(s+p) ; b = (1/2)*(s-p)
A:
(1/2) * B ( (1/2)*(s+p) ; (1/2)*(s-p) )
B:
(1/2) * B ( (1/2)*(s-p) ; (1/2)*(s+p) )
Nun wegen B(m;n) = B(n;m)
CH* = 2^(s-2) * [A + B]
CH* = 2^(s-2) * B ( (1/2)*(s-p) ; (1/2)*(s+p) )
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3947
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 20:33: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine ausführliche Lösung
dieser nicht ganz einfachen Aufgabe; sie
gefällt mir sehr.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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