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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3938
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 16:13: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 342,Integral F 25
Man berechne das Integral
CH := int [cosh (½ u) / cosh (u) du ]
untere Grenze ,obere Grenze unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3939
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 17:29: |
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Hi allerseits
Ergänzung zur Aufgabe F25:
die untere Grenze ist NULL
Dank an e. für die Mitteilung!*
MfG
H.R.,Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1314
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 22:08: |
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Hi megamath,
ich glaube es müsste auch einfacher gehen, wenn ich mir das Ergebniss anschaue, vielleicht weißt du wie!
CH = int[cosh((1/2)*u) / cosh(u) du] [0..inf]
Umformen:
int[ (e^u + 1) / (e^(2u) + 1) * sqrt(e^u) du] [0..inf]
Symetrie ausnutzen:
CH = 1/2 * int[cosh((1/2)*u) / cosh(u) du] [-inf..inf]
Setzt man:
e^u = tan(t) ==> du = (tan(t)^2 + 1)/e^u dt
[-inf..inf] ==> [0..pi/2]
Das Integral wird zu:
(1/2)*int[(tan(t) + 1)/sqrt(tan(t)) dt] [0..pi/2]
Teilen wir das Integral auf:
A:
int[sqrt(tan(t) dt] [0..pi/2]
B:
int[1/sqrt(tan(t) dt] [0..pi/2]
Nutzen wir nun:
int[sin(x)^(2m-1)*cos(x)^(2n-1) dx] [0..pi/2]= (1/2)* B(m;n)
Für A:
m = (3/4) ; n = (1/4)
int[sqrt(tan(x)) dx] [0..pi/2]= (1/2) * B ((3/4);(1/4))
Für B:
m = (1/4) ; n = (3/4)
int[1/sqrt(tan(x)) dx] [0..pi/2] = (1/2) * B ((1/4);(3/4))
Da gilt B(m;n) = B(n;m)
Folgt:
CH = (1/2)*[A + B] = (1/2) * B((3/4);(1/4))
Das mit Gammafunktion ausdrücken und den Ergänzugsatz von Euler ausnutzen:
CH = pi/sqrt(2) [ ~2,22144 ]
Ein hübsches Ergebniss!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1315
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath,
ich setze noch einen drauf! Ich habe nämlich ein wenig mit dem Integral rumgespielt...
Setze man einen Paramter p für (1/2) im Zähler!
Wir rechnen nun genau wie oben, schleppen nur die ganze Zeit den Parameter mit! Am Ende erhalten wir:
CH(p) = (1/2) * B ( (1+p)/2 ; (1-p)/2 )
CH(p) = pi / [2*cos(pi * p/2)] für |p|<1
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3942
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 08:10: |
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Hi Ferdi
Du hast eine bemerkenswerte Lösung der kleinen Aufgabe präsentiert.
Es ist Dir alles gelungen! Dank und Gratulation.
Es ist nicht immer so, dass die eleganteste Lösung auch die beste wäre.
Es ist außerdem oft sehr nützlich, eine gegebene Aufgabe
die Schwierigkeiten macht, zu verallgemeinern und sie dadurch
besser durchschaubar zu machen.
Darauf hat auch der viel zitierte Georg Pólya (1887-1985)
in seinen Büchern und Vorlesungen stets mit Nachdruck hingewiesen.
In einer nachfolgenden LF-Aufgabe werde ich dieselbe Aufgabe
noch etwas ausbauen und ein Integral CH* vorstellen.
Dabei ist besonders interessant, wie via Betafunktion Integrale
mit hyperbolischen Funktionen auftreten.
Weiter werde ich eine elementare Lösung für das Integral CH zeigen.
Zum Spaß führe ich ein paar weitere Integrale hinzu, welche das gleiche
„schöne“ Schlussresultat CH = pi/sqrt(2) [ ~2,22144 ] ergeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3943
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 08:13: |
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Hi Ferdi
Hier ein einigermaßen direkter Lösungsweg,
eine Direttissima:
Wir substituieren im Integral
CH = int [cosh (½ u) / cosh (u) du ]
zunächst u = 2w und machen von den Formeln
cosh(2w) = (sinh w)^2 + (cosh w) ^2
(cosh w) ^2 - (sinh w)^2 = 1
Gebrauch; es entsteht:
CH = 2 * int [cosh (w) / { 1 + 2 (sinh w)^2 } dw]
Die Grenzen sind , nach wie vor, null und unendlich.
Im letzten Integral substituieren wir
sinh w = z ; es entsteht
CH = 2 * int [dz / (1 + 2 z^2)]
Im letzten Integral substituieren wir noch
sqrt(2) z = y ; wir erhalten:
CH = sqrt(2) * int [dy / (1+ y^2)] = sqrt(2) * ½ Pi
Wir sind am Ziel!
MfG
H.R.Moser,megamath
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