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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3936
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 15:39: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 340 (F 24)
Mit der bekannten Betafunktion
B(a,b) = int [x^(a-1) * (1-x)^(b-1) dx ]
untere Grenze x = 0, obere Grenze x = 1,
dem Verdoppelungssatz von Legendre über die Gammafunktion
(Formelsammlung G1) und mit andern einschlägigen Sätzen aus
diesem Umfeld beweise man die Formel
G3:
B(x, x) * B(x+ ½, x+ ½) = Pi / {x * 2^(4 x -1)} , für x > 0.
Mit freundlichen Grüßen
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1313
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 21:53: |
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Hi megamath,
auch dies tun wir gerne!
Ich benutze folgende einschlägige() Sätze:
I) G(x+1) = x * G(x)
II) [G(x)*G(x+(1/2))]/G(2x) = sqrt(pi)/2^(2x-1)
III) B(x;y) = G(x)*G(y) / G(x+y)
Ans Werk:
B(x,x) * B(x+(1/2);x+(1/2))
ist nach III):
{G(x)^2 / G(2x)} * {G(x+(1/2))^2 / G(2x+1)}
Der letzte Nenner ist dank I) 2x * G(2x)
{G(x) * G(x+(1/2)) / G(2x) }^2 * 1/2x
Das ist dank II)
{ sqrt(pi) / 2^(2x-1) }^2 * 1/2x
pi / 2^(4x-2) * 1/2x
pi / [x * 2^(4x-1)]
Ergo:
B(x,x) * B(x+(1/2);x+(1/2)) = pi / [x * 2^(4x-1)]
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3941
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 20:38: |
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Hi Ferdi
Du hast die einschlägigen Methoden
recht zielbewusst eingesetzt.
Danke !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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