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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3934
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 09:07: | 
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Hi allerseits
Es folgt die Aufgabe LF 339, als Aufgabe F 23
Damit werden Varianten zum bekannten Integral
E = int [ dx / sqrt(1-x^4) ] ,
untere Grenze – 1, obere Grenze 1
vorgestellt.
Die Aufgabe lautet:
Man beweise die Aussagen (1) und (2):
(1):
die folgenden Integralterme F und G stimmen mit E
ihrem Wert W nach überein:
F = int [ dt / sqrt(cos t )] ,
untere Grenze t = 0,obere Grenze t =½ Pi
G:= sqrt(2) * int [dv / sqrt{1 – ½ (sin v)^2}]
untere Grenze v = 0 , obere Grenze v = ½ Pi
(2)
Für W gilt:
W = ½ * 1/sqrt(2 Pi) * [Gamma(¼) ]^2 ~ 2,62206.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1311
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 11:40: |
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Hi megamath,
in F:
Setze sqrt(cos(t)) = x
dt = -2x/(sqrt(1-x^4)) dx
[0..pi/2] ==> [1..0]
Insgesamt:
F = -2*int[ 1/sqrt(1-x^4) dx] [1..0]
Nutzen wir die Symetrie aus und unterdrücken das Minus durch Grenzentausch:
F = int[ 1/sqrt(1-x^4) dx ] [-1..1] q.e.d.
In G:
erweitere mit sqrt(2)
2/sqrt(2 - sin(v)^2)
2/sqrt(1 + cos(v)^2)
erweitern mit sqrt(1 - cos(v)^2) = sin(v)
2*sin(v) / (sqrt(1 - cos(v)^4))
Jetzt cos(v) = x ==> dv = dx / -sin(t)
[0.pi/2]..[1..0]
-2* int[ 1 / (sqrt(1-x^4)) dx ] [1..0]
Wieder Symetrie und Minus weg:
G = int[ 1/ sqrt(1-x^4) dx ] [-1..1] q.e.d.
Damit ist gezeigt das alle Integrale gleich sind!
Für E* hatten wir ja schon die Formel:
E* = int[(1+x)^(2m-1)*(1-x)^(2n-1) / (1+x^2)^(m+n) dx] [-1..1]
E* = 2^(m+n-2) * { G(m)*G(n) / G(m+n) }
Setzen wir: m = n =1/4
E = int[1 / sqrt(1-x^4) dx] [-1..1]
E = 1/2 * G(1/4)^2 / sqrt(2pi)
Nutzt man nun G(1/4) ~ 3,6256 kommt
E = F = G = 1/2 * G(1/4)^2 / sqrt(2pi) ~ 2,622
Ich verabschiede mich damit bis zum späten Abend um einen sportlichen Nachmittag zu verbringen, damit nich nur der Kopf frisch bleibt... !!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3935
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 15:31: |
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Hi Ferdi
Alle Deine Berechnungen sind i.O.
Ich füge noch ein paar Bemerkungen zum Thema bei.
Das Integral E = int [dx / sqrt (1-x^4) ] ,
untere Grenze – 1, obere Grenze 1,
tritt bei der Berechnung der Schleifenlänge der Lemniskate
r^2 = 2 a^2 cos2 phi (Polarkoordinatendarstellung) auf.
Für die volle Schleifenlänge S gilt:
S = a sqrt(2) * E.
Das Integral im Term für G ist ein so genanntes
elliptisches Integral erster Gattung F (½Pi, ½ sqrt(2));
das ist jedoch eine Geschichte für sich!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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