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Badguy (Badguy)
Junior Mitglied
Benutzername: Badguy
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:13: | 
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Hallo Leute
Ich soll folgende Differentialgleichungen lösen:
1. 2 t*x + (t^2 +2 x)*x’
2. x^2+1+t+2 x*x’
3. usw.
Nun meine Frage: Könnte mir vielleicht jemand kurz so eine Art Arbeitsanweißung für diese Form der Differentialgleichung stellen, also...:
Schritt 1. Prüfung, ob Differentialgleichung exakt ist (Wie mache ich das?)
Schritt 2. Was nun....? Wie finde ich integrierenden Faktor?
Schritt n: Lösung....
Also, ich bräuchte einfach nur ein Schema zur Lösung. Rechnen, will ich sie ja schon selbst.....;-)
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte....
Gruß Mike
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 837
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 08:16: |
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Mike,
Da es sich um Differentialgleichungen handelt,
sollte wohl rechts " = 0 " stehen.
Dann haben wir also Gleichungen der Form
P(t,x) + Q(t,x) x' = 0
Diese Gleichung ist exakt g.d.w.
(1) Px(t,x) = Qt(t,x)
Schreibt man die allgemeine Lösung in der impliziten
Form
(2) F(t,x) = C,
so muss also für die gesuchte Funktion F gelten :
(3) Ft = P , Fx = Q
Im Beispiel 1. ist (1) offenbar erfüllt, und es ist
F(t,x) = xt2 + x2.
Falls (1) nicht erfüllt ist - wie bei 2. -
so sucht man einen integrierenden Faktor M gemäss
(MP)x = (MQ)t <=>
MxP-MtQ=M(Qt-Px)
Diese partielle Dgl. ist i.a. schwieriger zu lösen als
die gegebene Dgl. , ausser man hat Glück (wie bei
2.: versuche selbst !)
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 09:43: |
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Fortsetzung :
Im Beispiel 2. ist
Px = 2x , Qt = 0
und die Dgl. für M lautet
(x2+t+1)Mx + 2xM = 2xMt.
Dies legt es nahe, nach einer von x unabhängigen
Lösung M = M(t) zu suchen, also Mx=0.
Tatsächlich leistet M(t) = et das Verlangte, d.h.
die mit et erweiterte Dgl. 2. ist exakt (rechne nach).
Wieder suchen wir die allgemeine Lösung in der
impliziten Form
F(t,x) = C <=>
Ft = (x2+t+1)et , Fx = 2x et <=>
F(t,x) = (x2+t) et + G(x) , G'(x) = 0.
Somit lautet die allgemeine Lösung von 2.:
(x2+t) et = C
mfG Orion
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Badguy (Badguy)
Junior Mitglied
Benutzername: Badguy
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 12:31: |
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Danke Orion,
Mit diesem Vorgehen und deiner Rechnung zu 2. müsste ich die anderen Gleichungen, die auf meinem Blatt stehen, auf jeden Fall lösen können.
(Hoffe ich zumindest,wenn nicht frag ich nochmals nach)
Gruß und nochmals.... Danke
Mike |
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