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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3911
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 08:31: | 
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Hi allerseits
Es folgt Aufgabe LF 331 (F 15):
Es sind zwei Integrale Z1 und Z2 zu berechnen:
Die Integranden lauten beide Male:
f(x) = x e^x / (e^x – 1)
Grenzen.
Z1; untere : 0, obere : ln 2
Z2: untere: -ln 2, obere : 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3912
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 09:00: |
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Hi allerseits
Zusatzaufgabe zu F15.
g(x) sei das Polynom zweiten Grades in x, welches in den
Summanden mit den ersten drei Gliedern der Taylorreihe
(Zentrum x = 0) übereinstimmt.
a)
N1 sei das Integral int [g(x) dx], untere Grenze 0, obere Grenze ln 2.
Berechne N1 auf 6 Stellen nach dem Komma,
und vergleiche diesen Wert mit der Dezimalbruchentwicklung von Z1
b)
N2 sei das Integral int[g(x) dx], untere Grenze - ln 2, obere Grenze 0.
Berechne N2 auf 6 Stellen nach dem Komma,
und vergleiche diesen Wert mit der Dezimalbruchentwicklung von Z2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1300
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 10:18: |
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Hi megamath,
das erste Integral habe ich geknackt!
int[ (x*e^x) / (e^x - 1) dx] [0..ln(2)]
e^x = u ==> dx = 1/u du
[0..ln(2)] ==> [1..2]
int[ (ln(u)*u)/(u-1) du/u] [1..2]
int[ ln(u) / (u-1) du] [1..2]
u - 1 = t ==> du = dt
[1..2] ==> [0..1]
int[ ln(1+t) / t dt ] [0..1]
Das kann man ja in einer Reihe entwickeln und sieht:
Z1 : pi^2 / 12
Beim zweiten rätsele ich noch...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1301
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 11:26: |
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Hi megamath,
beim zweiten stoppe ich immer wieder bei folgender Reihe:
Man substituiert wie oben und kommt am Ende auf:
sum[ 2^(-k) * 1/k^2 ] [k = 1 ad infinitum]
Aber mir gelingt es nicht die Summe dieser Reihe zu berechnen! [ ~ 0,582 ]
Was schlägst du vor?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3913
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 12:59: |
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Hi Ferdi
Aus Zeitgründen muss ich mich etwas kurz fassen.
Es ist zweckmäßig, den Wert des zweiten Integrals mit Hilfe
des so genannten Dilogarithmus dilog(x) darzustellen.
Diese Funktion spielt eine ähnliche Rolle, wie etwa der Integralsinus,
man darf auf sie zurückgreifen.
dilog(x) ist so definiert:
int [ln t/(1-t)dt] = dilog(x) , untere Grenze 1,obere Grenze x.
Mehr darüber später
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3914
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 13:16: |
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Hi Ferdi
Hier noch die numerischen Werte:
Z1 ~0.8225111189
Z2 ~0,5822846119
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1302
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 13:33: |
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Hi megamath,
da hast du ja ein völlig neues Feld eröffnet !
Das gesuchte Integral ist dann dilog(1/2)!
Anscheinend gilt für diese Funktion (hat jemand einen Beweis dafür??):
dilog(x) + dilog(1-x) = pi^2/6 - ln(x)*ln(1-x)
Woraus wir sofort schließen können:
dilog(1/2) = pi^2/12 - (1/2)*ln(2)^2
Z2 = pi^2/12 - (1/2)*ln(2)^2 [~ 0,582285]
Mich würden ein paar Infos über diese Funktion bei Gelgenheit sehr interessieren! [ Literatur angaben sind auch immer erwünscht! ]
mfg |
Orion (Orion)
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Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 835
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 14:25: |
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Ferdi
Vorschlag :
f(x):= dilog(x)+dilog(1-x)+lnx*ln(1-x)
=> f'(x)=0.
Link : http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1305
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:59: |
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Hi Orion,
mal wieder eine hervorragende Idee! Besten Dank! Auch für den Link.
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3922
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 09:28: |
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Hi allerseits
Die ersten der Glieder der Taylorentwicklung von
f(x) = x e^x / (e^x-1)
zusammengefasst zu einem Polynom g(x)
zweiten Grades
g(x) = 1 + ½ x + 1/12 x^3.
integriert von 0 bis ln 2 gibt
N1 = ln 2 + ¼ (ln 2)^2 + 1/36 (ln 2)^3 ~ 0,822511
integriert von – ln 2 bis 0 gibt
N2 = ln 2 - ¼ (ln 2)^2 + 1/36 (ln 2)^3 ~ 0,582285
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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