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Der Raum Fb((M,R);d¥)...

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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1023
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

Hallo liebe Comunity,

der oben beschriebene metrische Raum, ist der Raum der beschränkten Funktionen von M nach R wobei M eine nichtleere Menge sein soll. Die
Metrik d¥ ist die Supremumsmetrik, also die von der Supremumsnorm erzeugte Metrik.
Ich weis, das der Raum vollständig ist....

ich soll nun folgende Dinge zeigen:

(a)der Vektorraum Fb(M,R) ist genau dann endlich dimensional wenn M endlich ist.

klingt irgendwie trivial- aber glaubt ihr ich bekomme die Aussage bewiesen???

(b) die abgeschlossene Einheitskugel:

K(0,1)={f aus Fb(M,R)|d¥(f,0)=<1}

ist zwar beschränkt (klar!) und abgeschlossen(klar!), aber nicht kompakt, wenn M nicht endlich dimensional ist.

Hinweis: Man untersuche die Einheitskugel auf Folgenkompaktheit!

In metrischen Räumen gilt ja X kompakt<=>X folgenkompakt....

Hätte da jemand eine Idee? wie man das Beweist?

mfg

Niels

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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1353
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Niels

Ich versuchs mal.

(a)
Sei M endlich. M={m1,m2,...,mN}.
Definiere die Funktionen fi durch:
fi(m)=
0 für m¹mi
1 für m=mi

Dann ist B={f1,...,fN} eine Basis von Fb(M,R). [Lineare Unabhängigkeit sieht man ja direkt und dass man jede Funktion aus Fb(M,R)erreicht ergibt sich auch leicht]

Also hat der Vektorraum Fb(M,R) die Dimension N, wenn M genau N Elemente hat.

Sei nun der Vektorraum Fb(M,R) endlichdimensional mit der Dimension N. Angenommen M wäre nicht endlich. Man betrache eine Funktion f aus Fb(M,R). Sucht man sich N paarweise verschiedene Wertepaare raus, so ist damit schon eindeutig die Linearkombination aus Basisvektoren für f bestimmt. Das kann offentlich nicht sein. Also muss M endlich sein.

(b)
M sei nicht endlich(Ich denke hier soll das dimensional in der Aufgabenstellung weg, oder?).
Sei (xn) eine Folge in M mit xi¹xj für i¹j.
Definiere eine Funktionenfolge durch
fn(x)=
0 für x¹xn
1 für x=xn

Dann gilt d¥(fn,0)=1, also ist (fn) eine Folge in K(0,1).
Weiter gilt ||fn-fm||¥=1 für n¹m, also konvergiert keine Teilfolge von (fn) und K(0,1) ist nicht kompakt.[Unser Raum ist vollständig, also ist jede konvergente Folge auch Cauchy-Folge. Wie gerade gezeigt kann aber keine Teilfolge unserer konstruierten Folge Cauchy-Folge sein und ist damit insbesondere nicht konvergent]

Ich hoffe mal das stimmt soweit alles...

MfG
C. Schmidt
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1024
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 19:38:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen Dank für deine Bemühungen!
Klingt für mich jetzt plausiebel, und die Idee mit den Charakteristischen Funktionen ist große Klasse! Wäre ich nicht druff gekommen.....

Was (b) betrifft:

Die Dimension unsees Raumes spielt eine entscheidende Rolle! Es gilt nämlich folgender Satz:

In endlich dimensionalen normierten Räumen ist die Einheitskugel kompakt, in "unendlich" dimensionalen normierten Räumen ist die Einaheitskugel nicht kompakt!

Das dumme ist nur, das wir offiziell nichts von normierten linearen Räumen wissen-.....

Gruß N.

PS: Wenn jemand erfahrenes wie Megamath, Zaph,Orion, Sotux und Co dein Beweis bestätigen könnten wäre das Toll!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1354
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 19:44:   Beitrag drucken

Hi Niels

Mit der Dimension meinte ich was anderes. Du hattest geschrieben
"wenn M nicht endlich dimensional ist". Und da meine ich muss doch das "dimensional" weg, weil M ja nur eine Menge und kein Vektorraum ist. Damit verbunden ist dann natürlich nach (a), dass der Raum Fb(M,R) keine endliche Dimension hat.

MfG
C. Schmidt
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1025
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 20:36:   Beitrag drucken

Achso,

ja, so ist es natürlich, M ist "nur" eine Menge, und eine Menge besitzt "nur" eine Mächtigkeit, keine Dimension...wie komme ich blos darauf...:-)

Du hast natürlich vollkommen recht, habe mich verschrieben gehabt....

Gruß N.

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