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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3878
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 17:04: | 
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Hi allerseits
angeregt durch die Fragestellung von ZAPH
„Reihensumme gesucht“
erscheinen in der Serie „Lockere Folgen“
zwischendurch Aufgaben zu endlichen Reihen.
Erwünscht sind spontane Lösungen, aber auch solche,
hinter denen ein System steckt.
Die Aufgaben werden fortlaufend mit Rj (j =1,2 ….)
bezeichnet.
Aufgabe LF 323 (R1) lautet.
Für die Reihe mit n Summanden
S = 1*3*5*7 + 3*5*7*9 + 5*7*9*11 +………
ermittle man eine geschlossene Summenformel
Gesucht: S als Funktion von n.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 827
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 19:53: |
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Hallo,
Hinweis:Da der k-te Summand
a(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)
ein Polynom 4-Grades in k ist, so muss
S(n) := Sn k=1 a(k), S(0) := 0 (leere Summe)
ein Polynom 5.Grades in n mit Absolutglied Null
ergeben. Das kann man/frau ausrechnen und einen
Induktionsschluss nachschieben.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3880
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 20:52: |
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Hi Orion
Das ist alles richtig!
Ich habe es durchgespielt.
Später zeige ich eine Lösung mittels Differenzenrechnung!
MfG
H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3881
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 21:26: |
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Hi allerseits
Zu Vergleichszwecken gebe ich zwei Formen
des gesuchten Polynoms fünften Grades in n :
S(n) =1/10*[(2n-1) (2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7) + 1*3*5*7]
ohne Klammern:
S(n) = 16/5 n^5 + 24 n^4 + 56 n^3 + 36 n^2 – 71/5 n
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3882
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 22:00: |
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Hi allerseits
Es folgt die Herleitung der Summenformel
mit Hilfe der so genannten Differenzenmethode
ohne Brimborium:
Das allgemeine Glied der Summe lautet:
a(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)
wir bilden das „überschüssige“ Glied
b(k) :=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)
Wir berechnen die Differenz
b(k) - b(k-1) = 10 a(k), wie man leicht nachrechnet !
Bildet man die Summe aller dieser Differenzen
für k = 1 bis k = n, so kommt
auf der linken Seite:
b(n) – b(0)
auf der rechten Seite 10 * S(n),
also
S(n) = 1/10 * [b(n) – b(0)]
Achte besonders auf b(0)!
Dies führt sofort auf das in meinem
letzten Beitrag angegebene Resultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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