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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3875
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 15:25: | 
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Hi allerseits,
Bei der Aufgabe 321 (F8)
ist wiederum ein uneigentliches Integral
zu berechnen.
Es könnte Schwierigkeiten bereiten;
hoffen wir auf ein veni, vidi, vici!
Das Integral lautet:
P = int [ ln (1+ ¼ x^2) / (1 + x^2) dx ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1282
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 16:55: |
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Hi megamath,
gesehen habe ich folgendes:
x = tan(t)
dx = (tan^2(t) + 1) dt
[0..inf] = [0..pi/2]
P = int[ln( 1 + (1/4)*tan(t)^2) dt] [0..pi/2]
Bringt mich das weiter? Oder habe ich etwas übersehen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3879
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 18:00: |
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Hi Ferdi
Vielleicht!
Die Lösung ist mit der Nomenklatur angekündigt!
P bedeutet Parameterintegral.
Ersetze im Integranden den Faktor ¼
durch p^2 mit 0 < p < 1 und verwende p als Parameter.
Leite „unter dem Integral“ partiell nach p ab;
es entsteht
dP/dp als Integral in x (Grenzen unverändert),
das leichter zu lösen ist als das ursprüngliche Integral.
Integriere die jetzt vorliegende Differentialgleichung.
Achte insbesondere auf die Integrationskonstante,
die auch in diesem Fall null wird.
Viel Vergnügen bei der erfolgreichen Lösung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1283
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 23:29: |
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Hi megamath,
Parameter scheinen hier sehr hilfreich!
Ableitung unter dem Integral nach P:
P'(p) = int[ (2px^2)/((1+x^2)*(1+p^2x^2)) dx] [0..inf]
Das Integral ist mit Partialbruchzerlegung leicht zu lösen!
P'(p) = 2p*[ arctan(x)/(p^2-1) - arctan(px)/(p^3-p)] [0..inf]
da arctan(0) = 0 und arctan(inf) = pi/2
P'(p) = pi * ( (p-1)/(p^2-1) )
P(p) = pi * ln(p+1) + C
Da P(0) = 0 ==> C = 0
Wir haben also für unser Integral P(1/4) = pi*ln(5/4)!
Wir können dieser Formel auch einem Test unterziehen, setzen wir p = 1, so erhalten wir:
ln(x^2+1)/(x^2+1) ein Integral das bekannt ist es hat den Wert pi*ln(2) = P(1)!
mfg
Mich würde jetzt mal interesieren was für Vorausetzungen für Differenzieren unterm Integral nötig sind! Kannst du vielleicht kurz darauf eingehen oder ein Literaturhinweis geben? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3883
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 08:54: |
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Hi Ferdi
Das Schlussresultat pi * ln(p+1) ist richtig.
Für p ist nun aber ½, nicht ¼ einzusetzen, wenn man die
gestellte Aufgabe lösen möchte;
wir haben ja ¼ durch p^2 ersetzt!
Man darf unter dem Integralzeichen eines bestimmten Integrals
nach dem Parameter p differenzieren, wenn der Integrand f(x,p)
für alle Wertepaare, für welche a<= x <=b, p1<= p <=p2 gilt,
f(x,p) stetig und die partielle Ableitung von f nach p
existiert und stetig ist.
a und b sind (selbstredend) die Integrationsgrenzen.
Für uneigentliche Integrale ist deren gleichmäßige
Konvergenz erforderlich.
In der Literatur findet man das Thema unter dem Titel
„Differentiation und Integration eines gleichmäßig konvergenten
uneigentlichen Integrals nach einem Parameter“.
Diese Hinweise sollten genügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamaht
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