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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1014
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 08:42: | 
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Hallo liebe Comunity,
folgende Aufgabe:
Gegeben ist eine stetige Abbildung f:X->Y
Behauptungen:
(a)f bildet präkompakte Mengen in X auf solche in Y ab.
(b) Für jede kompakte Teilmenge K von Y ist das Urbild f-1(K) kompakt.
(c) ist X präkompakt so ist f schon gleichmäßig stetig.
(d) ist f "CAUCHY Folgen Treu"(d.h f bildet Cauchy Folgen auf cauchy Folgen ab), so auch präkompakte Mengen auf präkompakte Mengen.
(e)ist f gleichmäßig stetig, so bildet f präkompakte Mengen auf präkompakte Mengen ab.
Meine Ideen:
(a) ist glaube ich falsch. Mir fehlt aber ein Gegenbeispiel oder ein Beweis das die Aussage falsch ist...
(b) Ich weis, das das stetige Bild kompakter Mengen kompakt ist, wie setze ich die Tatsache hier am besten ein?
(c) habe ich keien Ahnung wie ich das beweisen soll...
(d) Ich habe zwar keine Ahnung wie ich die Aussage beweisen soll, vermute aber das sie richtig ist...Hat jemand eine Beweisidee???
(e) Ist trivialerweise richtig, wenn (d) richtig ist. denn jede gleichmäßig stetige Abbildung ist Cauchy Folgen treu!
jetzt bitte ich euch um Hilfe! Ich bin wie immer für jede Idee, jeden Denkanstoß oder Beweis dankbar!
mfg
Niels |
Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1015
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 21:36: |
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Hat niemand von euch eine Idee?
noch ein Gedanke zu (a):
Ich weis, das ]0;1[ präkompakt ist. R ist aber nicht Präkompakt. Das heißt meiner Meinung nach, das wenn ich eine stetige Abbildung ]0;1[->R gäbe wäre ich fertig. und hätte mein Gegenbeispiel. Frage gibt es eine stetige Abbildung von ]0;1[->R ? im Prinzip müsste es doch die Funktion 1/x machen. si ist stetig und bildet ]0;1[ auf eine nicht präkompakte Menge nämlich R ab. Wiederspruch zur Annahme!
oder geht das so nicht???..
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1017
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 22:51: |
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Na Herrschaften, hat den wirklich keiner eine Idee? Meine "Denkanstöße" kennt ihr ja bereits....
Also, wenn irgendetwas gescheites zu präkompakten Mengen einfällt, der solle sich bitte melden....
Danke!
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1613
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 21:51: |
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Hallo Niels,
a) betrachte besser die Abbildung
f(x) = tan(Pi*(x - 1/2))
b) falsch! f(x) = sin(x)
c) falsch! siehe Bsp von a.
d) Sei X präkompakt und Y = f[X]. Wenn Y nicht präkompakt wäre, existiert epsilon > 0 und Folge y_i in Y, sodass d(y_i,y_j) > epsilon für i != j. (klar, wieso?)
Sei x_i Folge in X mit f(x_i) = y_i. Da X präkompakt, existiert Teilfolge w_j von x_i, die Cauchy-Folge ist. (klar, wieso?)
Sei z_j = f(w_j).
z_j ist als Teilfolge von y_i keine Cauchy-Folge. Widerspruch!
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1018
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 23:01: |
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Hi Zaph,
ich freue mich über deine Antworten!
zu a)
soll ich f(x) = tan(Pi*(x - 1/2)) als Abbildung von ]0;1[->R betrachten?? oder von wo nach wo?
b) müsstest du noch bitte näher erläutern-d.h wenn ich es jetzt nich verstanden habe....
f(x)=sin(x) dann ist ja Bild(f)=[+1;-1] kompakt, Def(f)=R aber nicht kompakt, meintest du diesen Argument?
c) bitte näher erklären, ist die tan, funktion nicht gleichmäßig stetig, oder gleichmäßig stetig?
d)d) Sei X präkompakt und Y = f(X). Wenn Y nicht präkompakt wäre, existiert epsilon > 0 und Folge y_i in Y, sodass d(y_i,y_j) > epsilon für i != j. (klar, wieso?)
Ich denke das ist klar, weil f nach Voraussetzung CAUCHY FOLGEN Treu ist.
Sei x_i Folge in X mit f(x_i) = y_i. Da X präkompakt, existiert Teilfolge w_j von x_i, die Cauchy-Folge ist. (klar, wieso?)
Sei z_j = f(w_j).
z_j ist als Teilfolge von y_i keine Cauchy-Folge. Widerspruch!
Ist leider für mich noch nicht so klar, weil ich den Zusammenhang zwischen Präkompakt und Folgen/Teilfolge nicht kenne. Bitte um Erläuterung!!!
vielen Dank Zaph!
mfg
Niels
}
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1617
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 23:18: |
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a) ja, so war es gedacht.
b) genau!
c) f ist nicht glm. stetig.
d) Wenn Y nicht präkompakt wäre, existiert epsilon > 0 und Folge y_i in Y, sodass d(y_i,y_j) > epsilon für i != j. Das gilt, da Y nicht präkompakt.
Da X präkompakt, existiert Teilfolge w_j von x_i, die Cauchy-Folge ist. Schau doch mal, ob ihr das in der Vorlesung hattet. Ansonsten morgen mehr. |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1020
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 08:22: |
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Hi Zaph,
nochmal eine Frage zu b)
die Umkehrfunktion von f(x)=sin(x) ist ja f(x)=arcsin(x). Der Definitionsbereich des Arkussinus ist zwar Def={+1;-1] aber der Bildbereich ist ja nicht ganz R sonderen
Bild=[-pi/2;pi/2] dann wäre ja das Bild, oder besser das Urbild des Sinus als abgeschlossenens Intervall von R ja auch kompakt! Oder sehe ich da etwas falsch???
Präkompakta und Folgen hatten wir nicht in der VL.
Übrigens, aus der Definition von Präkompakten Mengen entnehme ich, das präkompakte Mengen eine endliche Vereinigung beschränkter Mengen sind. endliche Vereinigungen beschränkter Mengen sind beschränkt. kann ich daraus folgern, das alle Funktionen die beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbilden auch präkompakte Mengen auf präkompakte Mengen abbilden?
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1619
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 21:44: |
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zu b) da siehst du etwas vollkommen falsch! Was ist denn das Urbild einer Menge??
zu "übrigens") Nein, das stimmt ganz sicher nicht.
zu d) Sei X präkompakt und sei x_i Folge in X. Dann existiert eine Teilfolgee x_i(j) von x_i, die Cauchy-Folge ist.
Beweis:
Setze epsilon_n = 1/2^n. Da X präkompakt, existiert zu jedem n eine endliche Menge von Kugeln mit Radius epsilon_n, die X überdecken.
Setze A_1 = {1,2,3,...}
Nach dem Schubfachprinzip gibt es unter diesen Kugeln eine Kugel mit Radius epsilon_1, die für unendlich viele i die Folgeglieder x_i enthält. Diese Menge (derjenigen unendlich vielen i) sei A_2.
Nun induktiv weiter. Sei A_n definiert.
Nach dem Schubfachprinzip gibt es unter den Kugeln eine Kugel mit Radius epsilon_n, die für unendlich viele Zahlen i aus A_n das Folgeglied x_i enthält. Die Menge dieser unendlich vielen i sei A_n+1.
Erhalte so eine absteigende Kette unendlicher Mengen A_1, A_2, A_3,...
Sei i(j) = min A_j+1 \ A_j.
Dann ist (x_i(j)) eine Cauchyfolge.
Hoffe, das war einigermaßen verständlich.
Z. |
Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1026
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 23:05: |
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Hi Zaph,
stimmt, es geht ja um "Urbilder"....
Den Satz über Präkompaka und Folgen kannte ich noch nicht- gut zu wissen, das es ihn gibt....
Schade, das "Übrigens" Falsch ist....
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 23:48: |
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Hast du denn ein Gegenbeispiel für deine "Übrigens"-Vermutung gefunden? ;-) |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 08:48: |
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Hi Zaph,
nein, leider nicht, aber ich glaube dir das. Wenn du eins kennst, dann bitte posten!
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 15:29: |
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Hallo Niels,
für metrische Räume sind die Begriffe "präkompakt" und "beschränkt" wohl kaum identisch ... denn sonst hätte man es ja bei einem Begriff belassen können.
Kennst du ein Beispiel, wo das eine zutrifft, das andere aber nicht? |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 18:18: |
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Hallo Zaph,
ich kenne nur beschränkte Mengen (offene und abgeschlossene Kugeln, intervalle in R etc), und ich kenne beschränkte Funktionen.... aber keine beschränkten Räume....sondern nur "kompakte, präkompakte und vollständige Rümen"....
Ich dachte nur, weil ich in Büchern gelesen habe das präkompakt=total beschränkt und ich dachte jede total beschränkte Menge sei beschränkt....
aus dieser Motivation kam meine Frage....
Übrigens, könntest du noch bitte nachrechnen das
tan(pi*(x-1/2)) stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist? (normalerweise wäre das in der guten alte Schule unter hingekuckt und abgehackt gefallen, aber an der Uni sind die Herrschaften etwas peniebel....)
Ich wäre dir sehr verbunden....
mfg
Niels |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 19:30: |
|
Hallo Niels,
total beschränkt => beschränkt
Aber nicht die Umkehrung! Kennst du ein Beispiel?
-+-+-+-+
Dass f(x) = tan(pi*(x-1/2)) stetig ist, brauchst du m. E. in einer Topo-Vorlesung nicht zu beweisen sondern als bekannt voraussetzen. Es gilt f(x) -> oo für x -> pi/2. Auch das ist nicht Bestandteil des Stoffes und kann so hingenommen werden.
Angenommen, es existiert z. B. zu epsilon = 1/10 ein delta > 0, sodass
|x - y| < delta => |f(x) - f(y)| < epsilon.
Wähle x := pi/2 - delta/2.
Dann gilt für x < y < pi/2, dass |x - y| < delta.
Aber |f(x) - f(y)| wird beliebig groß (für dieses feste x und y -> pi/2).
Das sollte als Begründung reichen!
Z. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 22:19: |
|
Hi Zaph,
ich muss dir leider mitteilen, das ich keine "Topologie Vorlesung" derzeit höre- bei uns ist der ganze kram bestandteil von Analysis I und II... Demnächst beginnen wir die Differentialrechnung auf Banachräumen zu erklären- ich gurcke ja nicht mit meinen Prof. in R rum, wie es es die meisten Lehrbücher tun....
Das ist ja das Problem warum ich hier die Fragen stelle....wir machen an meiner Uni werden in Analysis II dinge gemacht die macht man normalerweise erst in Topologievorlesungen oder Funktionalanalysis Vorlesungen (Analysis III oder IV)....
Aber dein Wort in Gottes Ohr- ich hoffe mein Hiwi wird es so hinnehmen....
bis morgen
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 23:48: |
|
Okay, Gnade über dich! ;-)
Was sagst du denn nun zu der Umkehrung von "total beschränkt => beschränkt"?
Das hat euer Prof doch hoffentlich widerlegt!?
Zusatzfrage: wo studierst du?
Z. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 17:24: |
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Hi Zaph,
ich kenne immer noch kein Gegenbeispiel und mein Prof hat auch so etwas nicht in der VL gemacht- et hat eben die dumme angewonheiten uns wichtige Dinge zu unterschlagen...(sie neue Definition von Präkompaktheit- ich war heute in der Mensa der einzige der die Aufgabe hatte )
Ich studiere In Kiel Mathe auf Diplom- und was schwirigeres gibt es wohl kaum als den Prof an meiner Uni- d.h es gibt noch einen schlimmeren- der macht in Analysis I schon Topologie meiner beschränkt sich ja schon auf metrische Räume- ist aber trotzedem noch schwirig genug für "Einsteiger" wie mich.....
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 17:57: |
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Ein wenig über metrische Räume, offene, abgeschlossene und kompakte Mengen ist wohl in der Anfängervorlesung unumgänglich. Übertreiben sollte man es aber nicht!
Was für Beispiele zu metrischen Räumen kennst du? Versuch mal, bei der Suche nach Gegenbeispielen dich von IR mit der üblichen Metrik d(x,y) = |x - y| zu lösen. |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:09: |
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nicht viele,
ich kenne auch nicht so viele Metriken....
nur halt die Betragsmetrik in R, den diskreten metrischen Raum mit der diskreten Metrik;"FEM" euklidische Metrik, "Manhatten Metrik", supremumsmetrik....naja und die üblichen Funktionenräume F(X,Y),F(M,R),Fb(M,R), C(X,Y),Cb(X,Y)....
das war es im Grunde schon, das dumme ist nur, das wir damals keine Holder, Minkowski, Jensche Ungleichungen besprochen haben, so das ich im Prinzip nichtmal in der Lage wäre nachzurechnen das die euklidische Metrik eine Metrik ist.....
Schlamperei nenne ich so etwas....
Das Problem ist in R könnte ich mir ja noch Funktionen vorstellen, aber ein Beispiel aus anderen Mengen rauszuknoblen finde ich noch schwiriger- mein Vorstellungsvermögen ist irgendwie begrenzt.... |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:21: |
|
diskrete Metrik hört sich doch gut an ... versuch es mal damit :-) |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1362
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:46: |
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Stimmt, damit ist man ja direkt am Ziel...
Nimmt man das Intervall [0,1]. Dann ist d(0,x)£1 für x€[0,1]. Also ist [0,1] beschränkt. Aber es existieren zu e=1/2 keine x1,...,xN, so dass [0,1] von deren e-Umgebungen überdeckt wird. Jede e-Umgebung von x€[0,1] enthält ja nur "sich selbst", also Be(x)=x. Damit muss man die e-Umgebungen von allen x€[0,1] vereinigen, um [0,1] zu überdecken.
MfG
C. Schmidt |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1632
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 19:46: |
|
Das ist es! :-) |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1038
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:30: |
|
Hallöchen,
ich bin im Moment ein wenig zerstreut und verwirrt:
Christians Beispiel ist ein Beispiel dafür das beschränkte Mengen nicht total beschränkt sind oder sehe ich da etwas falsch???
Zaph:
Zurück zur "Präkompaktheit"....
schau dir mal auf folgenden Zettel aufgabe
3b an: Da wird genau das bewiesen, das jede Folge in präkompakten Räumen eine Cauchy Teilfolge besitzt....
Nur die machen das nicht mit "Ketten" von Mengen sondern irgendwie "direkter"....
könntest du das nochmal kommentieren, oder entspricht das auch deinem Beweis oben, nur das die diese Ketteneigenschaft nicht explizit erwänen?
bitte um Kommentar...
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1039
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:35: |
|
Hallöchen,
ich bin im Moment ein wenig zerstreut und verwirrt:
Christians Beispiel ist ein Beispiel dafür das beschränkte Mengen nicht total beschränkt sind oder sehe ich da etwas falsch???
...misst Datei zu groß....
Zaph:
Zurück zur "Präkompaktheit"....
schau dir mal auf folgenden Zettel aufgabe
3b an: Da wird genau das bewiesen, das jede Folge in präkompakten Räumen eine Cauchy Teilfolge besitzt....
Nur die machen das nicht mit "Ketten" von Mengen sondern irgendwie "direkter"....
könntest du das nochmal kommentieren, oder entspricht das auch deinem Beweis oben, nur das die diese Ketteneigenschaft nicht explizit erwänen?
bitte um Kommentar...
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1040
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:36: |
|
Hallöchen,
ich bin im Moment ein wenig zerstreut und verwirrt:
Christians Beispiel ist ein Beispiel dafür das beschränkte Mengen nicht total beschränkt sind oder sehe ich da etwas falsch???
...misst Datei zu groß....
Zaph:
Zurück zur "Präkompaktheit"....
schau dir mal auf folgenden Zettel aufgabe
3b an: Da wird genau das bewiesen, das jede Folge in präkompakten Räumen eine Cauchy Teilfolge besitzt....
Nur die machen das nicht mit "Ketten" von Mengen sondern irgendwie "direkter"....
könntest du das nochmal kommentieren, oder entspricht das auch deinem Beweis oben, nur das die diese Ketteneigenschaft nicht explizit erwänen?
bitte um Kommentar...
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1041
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:38: |
|
So ein Misst...Datei zu groß- darf ich dir die Datei per mail an dich schicken Zaph?? sind nur 105 kb, aber für das Forum trotzdem zu viel....
N. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1634
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:42: |
|
Niels: "Christians Beispiel ist ein Beispiel dafür das beschränkte Mengen nicht total beschränkt sind oder sehe ich da etwas falsch???"
Nein, das siehst du richtig.
Ich bin mir sicher, dass es elegantere Beweise gibt, als den ich aufgeschrieben habe. Schick mal rüber! |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1042
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 22:23: |
|
Hallo Zaph,
so, mal sehen ob ich alles verstanden habe...
Laut Heine-Borel sind Teilmengen von IR kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind.
Meiner Meinung nach sind Teilmengen von IR präkompkt wenn sie beschränkt sind. Im allgemeinen reicht aber die "Beschränktheit" von Mengen für Präkompaktheit nicht aus (siehe Christians Beispiel....)
insbesondere sidn also offene und halboffene Intervalle in IR immer präkompakt! abgeschlossene Intervalle immer Kompakt!
IR selbst ist nicht kompakt weil zwar
]-¥,¥[=IR in IR zwar abgeschlossen ist, aber nicht beschränkt ist. IR ist auch nicht präkompakt weil halt IR als Intervall nicht beschränkt ist....
Ist das so richtig???
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1635
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 23:55: |
|
Das hört sich doch gut an :-)
Lass mich trotzdem etwas pingelig mäkeln ... bitte nicht falsch verstehen!!!
Laut Heine-Borel sind bzgl. der "normalen" Metrik Teilmengen von IR kompakt, genau dann wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind.
Teilmengen von IR sind bzgl. der "normalen" Metrik präkompkt wenn sie beschränkt sind. Im allgemeinen reicht aber die "Beschränktheit" von Mengen für Präkompaktheit nicht aus (siehe Christians Beispiel....)
Insbesondere sind also offene und halboffene Intervalle in IR bzgl. der "normalen" Metrik immer präkompakt! abgeschlossene Intervalle immer Kompakt!
IR selbst ist nicht kompakt weil zwar
]-oo,oo[=IR in IR zwar abgeschlossen ist, aber nicht beschränkt ist. IR ist auch nicht präkompakt weil halt IR als Intervall nicht beschränkt ist....
Hier noch mal nachdenken: Folgt aus "nicht beschränkt" automatisch schon "nicht kompakt"? |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 16:38: |
|
Hi Zaph,
du hast recht:
es gilt doch
nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen => nicht kompakt (Kontraposition von Heine Borel)
oder sehe ich da etwas falsch???
Der Spaß geht weiter:
Was ist mit folgenden Aussagen- sind sie war oder falsch??
Vor:
(X,d) metrischer Raum
(a) ist P Teilmenge von X präkompakt, dann ist der Abschluß von P in X präkompakt
(b)Ist P Teilmengen von X präkompakt, dann ist der Abschluß von P in X kompakt
(c) Jede Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.
(d)Jede Teilmenge einer präkompakten Menge ist präkompakt.
Meine Vorschläge:
(a) und (b) sind glaube ich richtig, Ein Bewis fehlt mir aber.
(c) ist natürlich falsch! Beispiel [0,1] ist in IR kompakt, ]0,1[ Teilmenge von [0,1] aber nicht, sondern nur präkompakt....
d)richtig!
Wenn X Präkompakt, dann existiert eine endliche Vereinigung von Kugeln die X überdecken, und somit auch jede Teilmenge von X überdecken, also ist jede Teilmenge von X präkompakt!
ist das so richtig? und wie sieht es mit den Aufgaben Zum Abschluß aus???
Ausserdem noch folgendes:
Habe f die zusätzliche Eigenschaft, das Urbilder kompakter Mengen kompakt sind, dann bildet zwar f abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab(ist glaube ich richtig, Beweis ???) f bildet aber im allgemeinen nicht offene Mengen auf offene Mengen ab (Gegenbeispiel???)
könnte jemand auch zu diesen Aufgaben etwas sagen???
Gruß N.
|
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1637
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 20:20: |
|
Hi Niels mal wieder,
- Heine-Borel sagt doch nur etwas über IRn aus!
- zu a: sehe ich auch so
- zu b: sehe ich nicht so ... schon allein aus didaktischen Gründen ;-)
- c: genau!
- d: dein Beweis stimmt nicht. Die Mittelpunkte der Kugeln müssten in der Teilmenge liegen. Müssen sie aber nicht unbedingt.
- "zusätzliche Eigenschaft" ... zusätzlich zu was?
Z. |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1046
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:08: |
|
Hi Zaph,
a) Wie Funktioniert den ein Beweis für a)?
b) Ist nun b) richtig oder falsch???- (was passst dir den an den didaktischen Gründen nicht?...)
d) Wie müsste ich meinen Beweis abändern, damit der vollständig richtig ist? Oder funktioniert auf diese weise der Beweis nicht??
Zusateigenschaft:
f stetig, und Urbilder kompakter Mengen(unter f) sind Kompakt.
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1047
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:16: |
|
Übrigens,
ich habe gehört das man die Äquivalenz
X ist Präkompakt <=>jede Folge in X besitzt eine Cauchy Folge als Teilfolge
damit beweisen kann das man halt "(a)" nutzt. D.h
wenn P Teilmenge X präkompakt dann ist der Abschluß von P in X präkompakt...Was hat das mit den Cauchy Teilfolgen zu tun???
Gruß N.
Zu Heine Borel: Na und?? IR1=IR oder sagt HeineBorel nur etwas über "echte Teilmengen" vo IRn aus und nichts über IR (IRn) selber??? Ich verstehe mal wieder nicht worauf du hinaus willst???
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1640
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:21: |
|
Hallo Niels,
mit "didaktischen Gründen" meine ich, wenn b wahr wäre, dann ja auch a. Also bräuchte man a nicht extra zu fragen.
Zu a)
Sei epsilon > 0. Wähle endliche Überdeckung von P mit epsilon/2-Kugeln. Vergrößere jetzt den Radius dieser endlich vielen Kugeln auf epsilon. Erhalte so endliche Überdeckung vom Abschluss von P mit epsilon-Kugeln. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1641
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:29: |
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Zu Heine-Borel:
Wir reden doch meistens (nur) über metrische Räume. Heine-Borel sagt etwas aus über ganz spezielle metrische Räume. |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1049
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:34: |
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Hi Zaph,
tut mir leid- irgendwie bin ich im Moment etwas schwer von Begriff- Wieso habe ich wenn ich den Radius von epsilon/2 auf epsilon vergrößere schon den Abschluß überdeckt??
was die "Didaktik" betrifft- stimmt. Denn jede Kompakte Menge ist ja auch präkompakt!
also müsste b) falsch sein....wie sieht es mit einem Gegenbeispiel aus?
Gruß N.
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1643
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:41: |
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Das ist doch gar nicht schwer.
Wenn x im Abschluss von P, dann gibt es ein y aus P, sodass x in einer epsilon/2-Kugel von y liegt. Und y liegt in einer der endlich vielen epsilon/2-Kugeln, die P überdecken.
zu b) wähle einen metrischen Raum X, der präkompakt, aber nicht kompakt ist. Wähle dann P = X.
Z. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 12:36: |
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Hi Zaph, mal sehen ob ich a) jetzt verstanden habe,
Also erstmal ist P präkompakt, d.h es existiert eine endlich VEreinigung von Epsilon/2 Kuglen die Obermenge von P ist- also P Überdekct...
jetzt sei x Aus dem Abschluß von P.
d.h x aus X mit der Bedingung das x Berührpunkt von P ist.
d.h der Schnitt Kx(x,epsilon/2) mit P ist nichtleer. d.h ja gerade das ein y in P exisitert, so das x in einer Epsilon/2 Kugel von y liegt. Da nun P präkompakt ist liegt y in einer der endlich vielen epsilon/2 Kugeln die P überdecken(das ist ja gerade die Präkompaktheit von P!). D.h wenn ich den Radius meiner endlich vielen epsilon/2 Kugeln vergrößere, dann decke ich natürlich auch gleich ganz den Abschluß von P ab, da ja der Abschluß von P "nur" aus den Epsilon/2 Kugeln besteht die Ja dann eine Teilmenge der endlichen Vereiningung meiner "großen" Epsilon Kugeln ist, und somit präkompakt ist....
ist das so jetzt richtig???
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 12:45: |
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zu b) kann ich dann wieder mein gutes altes offenes Intervall ]0,1[ nehmen, es mit der von R induzierten Metrik ausstatten, habe dann also meinen Metrischen Raum []0,1[,d|.|) und wähle als Teimengen die Menge ]0,1[ selber,
da ]0,1[ dicht in IR ist, ist also der Abschluß von ]0.1[ selbst???? Das geht doch gar nicht, der Abschluß ist doch immer die kleinste Abgeschlossene Menge! also kann der Abschluß von ]0,1[ nicht ]0,1[ sein oder??? Was ist nochaml der Abschluß von offenen intervallen in IR also von ]a,b[ a, b aus IR??
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:14: |
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Ja, ich denke, du hast es verstanden. Formal vielleicht besser wie folgt.
x liegt in der epsilon/2-Kugel von y => d(x,y) < epsilon/2
y liegt in einer der endlich vielen epsilon/2-Kugeln, die P überdecken. Der Mittelpunkt dieser Kugel sei z. Dann d(y,z) < epsilon/2.
=> d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon
Also liegt x in der epsilon-Kugel um z.
b) doch, doch, der Abschluß von ]0,1[ ist ]0,1[.
Beachte: Wenn immer (X,d) ein metrischer Raum ist, dann ist X abgeschlossen! |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:25: |
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Hi Zaph,
stimmt ja in metrischen Räumen ist X ja sowohl offen als auch abgeschlossen, ich dachte nur, es gibt noch kleinere abgeschlossene Mengen in ]0,1[
(zum Beispiel [1/5 ,1/7] deswegen dachte ich könnte ]0,1[ nicht die kleinste abgeschlossene Menge sein oder????
wie sieht es mit d) und der Geschichte mit der Zusatzeigenschaft aus???
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 13:45: |
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Hi Zaph,
könntest du auch nochmal bitte erklären, was "relative Kompakt" ist???
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 16:22: |
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Hallo Niels,
"relativ kompakt" liefert bei Google 800 Treffer. Hier ist der erste:
Eine Teilmenge K eines metrischen Raumes X heißt r. k., wenn der Anschluss von K kompakt ist.
http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/FAOnline/node26.html
Zur Zusatzeigenschaft.
Sei f: IR -> IR (jeweils die übliche Metrik) mit f(x) = x².
f[(-1;1)] = [0,1) ist nicht offen.
Z.
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Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 18:05: |
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Hi Zaph,
vielen Dank Zaph!
eine bitte noch:
wie sieht es mit dem Beweis von d) aus? Teilmengen präkompakter Mengen sind präkompakt?
Die behauptung hält man sofort für wahr, aber mir fällt es oft schwer solch triviale Aussagen formal korrekt zu beweisen. Mein Argument sagtest du ja greife zu kurz, wie kann ich es abändern?
Wenn du lust und Zeit hast schaue dir doch mal die Arzela Ascoli geschichten an, im Arzela Ascoli thread....da habe ich überhaupt keinen Ansatz, im Gegensatz zu diesen Aufgaben, wo ich zumindest immer eine Idee hatte...
Vielen Dank,
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 19:05: |
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Hallo Niels, zuerst hielt ich die Aussage für falsch ... aber sie ist wahr. Und es ist wieder ganz einfach.
Sei X präkompakt und Y eine Teilmenge von X.
Zeige: Y ist präkompakt
Sei epsilon > 0. Da X pk, existeren endlich viele epsilon/2-Kugeln, die X überdecken. Diese überdecken natürlich auch Y. Aus jeder dieser Kugeln, die mindestens ein Element aus Y enthalten, wähle ein Element aus Y aus. Diese (ebenfalls nur endlich viele) Punkte aus Y bilden Mittelpunkte von epsilon-Kugeln, die Y überdecken.
Zu AA kann ich momentan nicht allzuviel sagen. Ist doch schon ein bisserl her. Außerdem habe ich meine Unterlagen nicht parat. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 19:43: |
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Hi Zaph,
dann war ich ja doch mit den Beweis nicht so schlecht dabei...aber deine Ideen mit den Epsilon/2 Kügelchen finde ich doch immer wider Interessant und gut....
Was AA. betrifft:
Hast du den Mathe studiert und bist schon fertig??? Naja, schau dir bitte trotzem mal an- vieleicht hast du ja eine "Eingebung"- Was ich unter AA. verstehe habe ich ja hingeschrieben....
Du musst aber wohl zugeben das die Wöchentlichen "Übungsaufgaben" nicht von schlechten Eltern sind....das ist schon Qualität-
Mein Problem ist nur, das ich nicht immer die "Tragweite" von derlei Lösungen von solchen Übungsaufgaben und Sätzen in der VL nicht gleich erkenne...das muss ich noch trainieren...
vielen Dank Zaph!
Gruß N. |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 22:47: |
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Hallo Niels,
ja, ich bin leider schon fertig :-(
Was die Übungsaufgaben betrifft: Auf jeden Fall möglichst jeden Zettel bearbeiten! Es gibt kaum einen besseren Weg, sich den Stoff anzueignen. Und nicht alles nur abschreiben! ;-)
Gruß
Z. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 16:26: |
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Hi Zaph,
darf ich fragen auf welchen Abschluß hin du studiert hast? Lehramt, Diplom? Oder bist du sogar schon Dr.?
Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 13:47: |
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Hi Zaph,
nochmal kurz nachgefragt,
bei der Aufgabe mit der "Zusatzeigenschaft":
eine konnstante Abbildung f:X->Y von einem offenen Intervall ]0,1{->34 reicht nicht als Gegenbeispiel oder?, denn Y={34} ist als einpunktige Menge sowohl offen als auch abgeschlossen oder???? Wäre dein x^2 Gegenbeispiel besser....nich woar...
Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 21:03: |
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Für das Gegenbeispiel soll ja das Bild gerade nicht offen sein!
Aber betrachte Y = IR. Dann ist {34} nicht offen, und dein Beispiel funktioniert. |
