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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3871
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 18:03: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 320 ist identisch mit der Aufgabe F7:
sie ist eine Verallgemeinerung der vorhergehenden Aufgabe
LF 319 alias L6, die den Zweck hatte, den Grundstein für
die neue Aufgabe zu legen.
Es ist eine typische Festivalsaufgabe.
Aufgabe F7 lautet:
Gegeben wird das bestimmte Integral
G(n) = int [(x – a ) ^ n * (b – x ) ^ n dx] , n = 1,2 3 ….
untere Grenze a, obere Grenze b,
wobei 0 < a < b gilt.
Man beweise:
G(n) = 2 * [2*4*6*…..*(2n)] / [3*5*7*….(2n+1)] * M^(2n+1)
mit M = ½ (b-a).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3873
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 21:05: |
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Hi allerseits
Wenn man den analogen Weg einschlagen möchte, den ich bei der Lösung
der Aufgabe F6 gewählt habe, so hilft die Substitution
x = a (cos t) ^2 + b (sin t)^2 ,
t läuft von 0 bis ½ Pi;
es entsteht dann für die Differentiale dx und dt die
Relation:
dx = 2 * (b – a) sin t cos t.
Dies lädt dazu ein, den doppelten Winkel 2 t einzuführen,
und so weirter und so fort.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1280
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 23:22: |
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Hi megamath,
geht man nach meiner Methode erhält man exakt das gleiche Ergebniss
Setzt man:
x = (b-a)*t + a
dx = (b-a) dt
[a..b] = [0..1]
int[(x-a)^n*(b-x)^n dx] [a..b]
==>
(b-a)^(2n+1)*int[t^n*(1-t)^n dt] [0..1]
Schreiben wir nun den Term vorm Integral um:
[(b-a)/2)^(2n+1)*2^(2n+1)] {dies geschieht durch einfache multiplikation mit 2^(2n+1)/2^(2n+1) = 1!}
Also:
[(b-a)/2]^(2n+1) * F(n)
Da F(n) = 2* [2*4*6*..(2n)]/[(3*5*7..(2n+1)] ist der Beweise gelungen!
G(n) = M^(2n+1) * F(n) mit M = (b-a)/2
Wir können diese Formel einem Test unterziehen:
Setze a = 0 und b = 2, wir erhalten unser Beispiel von heute Nachmittag, da M = 1 !
mfg und Gute Nacht |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3874
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 15:02: |
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Hi Ferdi
Deine Substitution ist noch raffinierter als meine.
Jedem das Seine (suum cuique, frei nach Cicero)!
Deine Methode führt tatsächlich
auf kürzestem Weg zum Ziel.
Danke für Deinen Beitrag.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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