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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3858
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 09:42: | 
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Hi allerseits
Es geht weiter mit Aufgabe LF 317 (F4):
Man berechne
int [{e^(-x) – e^(-3x)} / x dx ]
untere Grenze 0, obere Grenze infinity.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3859
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 10:33: |
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Hi allerseits
Lösungshinweis zur Aufgabe F4:
Einführung eines Parameters p > 0 im Integranden
an Stelle der 3.
Man betrachte das Parameterintegral
F(p) = int [{e^(-x) – e^(-px)} / x dx ]
Ermittle F´(p) durch partielle
Differentiation nach p unter dem Integral!
Schliesse aus F´(p) auf F (p).
Die Integrationskonstante wird in diesem Fall null,
sollte aber andern analogen Aufgaben zuliebe
nicht vergessen werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1275
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 11:18: |
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Hi megamath,
ich habs ähnlich gemacht, dein Tipp hat mich dann auf die richtige Fährte gebracht:
Erst Substitution e^(-x) = u
==> dx = -1/u du
==> inf => 0 ; 0 => 1
Wir haben:
F(p) = int[(u^(p-1) - 1)/ln(u) du] von 0 bis 1
F'(p) = int[u^(p-1) du] von 0 bis 1
F'(p) = 1/p
==>
F(p) = ln(p) + C
Wegen F(0) = 0 folgt:
F(p) = ln(p)
Für unser Integral also I = ln(3)
mfg
PS: Das war aber ganz schön anspruchsvoll! Ohne den Tipp wäre ich wohl nicht weiter gekommen! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 14:13: |
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Hallo,
Allgemeiner sei für a,b,h > 0 :
T (h) := òh ¥[(e-ax-e-bx)/x] dx.
Mit Variablentransformation x = -t wird
T(h) = ò-¥ -h [ebt-eat)/t] dt
= Ei(-bh) - Ei(-ah),
wobei für 0 < x :
Ei(x) := ò-¥ x [et/t] dt
= g + ln |x| + O(x) für x ® - 0.
Also ist T(h) = ln |b/a| + O(h), h® - 0
Somit
ò0 ¥ [(e-ax-e-bx)/x] dx = ln (b/a) .
(Beitrag nachträglich am 15., April. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3860
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 16:45: |
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Hi Ferdi, Hi Orion
Das Integral-Festival wird immer spannender
und zeigt sich als Schlafmittel wenig geeignet.
Besten Dank für Eure Beiträge!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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