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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3850
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 10:21: | 
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Hi allerseits
Es geht gleich weiter mit der Aufgabe LF 314.
Diese und einige der folgenden Aufgaben sind
Bestandteil einer Serie von Integralen, die
zur Bewältigung etwas höhere Ansprüche stellen
und gleichwohl zum Standard gehören sollten.
Dieses kleine Festival dauert bis zum 22.April 04.
Die Aufgaben tragen die Bezeichnung Fn
Aufgabe F1.
Man berechne für natürliche Zahlen n
das bestimmte Integral
J(n) = int [ x * ( ln x ) ^ n dx ],
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1273
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 11:43: |
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Hi megamath,
das Ergebniss vorweg:
J(n) = (-1)^n * (1/2)^(n+1) * n!
Beweis:
int[ x * ln(x)^n dx]
Substitution:
x = e^t ==> dx = e^t dt
0 => -inf ; 1 => 0
int[e^(2t) * t^n dt] von -inf bis 0
Nun substituieren wir:
2t = -u ==> dt = -du/2
(1/2)int[e^(-u)*(-u/2)^n du] von 0 bis inf
daraus:
(-1)^n * (1/2)^(n+1) * int[e^(-u)*u^n du] von 0 bis inf
das letztere Integral ist aber gerade Gamma(n+1)!! Und dies hat bekanntlich()den Wert n!.
Ergo:
J(n) = (-1)^n * (1/2)^(n+1) * n!
z.B.:
J(1) = -(1/4) , J(3) = -(3/8), J(6) = 45/8
Man könnte auch eine Rekursionsformel entwickeln, diese lautet:
J(n) = -(1/2) * n * J(n-1)
mit J(1) = -(1/2) * J(0) = -(1/4) kommt man schlussendlich auf die selben Ergebnisse!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3851
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 12:28: |
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Hi Ferdi
Resultat und Herleitung sind beide richtig.
Bravo und besten Dank!
MfG
H.R.Moser,megamaht |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3852
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 14:25: |
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Hi allerseits
Eine Verallgemeinerung dieses Integrals lautet:
M (m,n) = int [x^m (ln x)^n dx] ;m>-1,n=0,1,2…..
Ergebnis: M(m,n) =(-1)^n * n! / (m+1)^(n+1).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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