Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3835 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 16:30: |
|
Hi allerseits Mit der Integral-Aufgabe O8 kommt die Aufgabe LF 310; sie lautet: Man berechne das uneigentliche Integral H = int [(1- cos z) / z^2 dz] untere Grenze z = 0 , obere Grenze z = unendlich. NB (Zweck der Übung): Das Resultat wird in nachfolgenden LF-Aufgaben benötigt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3836 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 18:27: |
|
Hi allerseits Hinweise zur Aufgabe LF 310. Die Aufgabe ist naturgemäß nicht einfach. Wir benötigen das Resultat H = ½ Pi, um für den Integralsinus Si(x) den Grenzwert für x gegen unendlich, nämlich lim Si(x) = ½ Pi, zu bestimmen. H findet man durch zweimalige Integration beider Seiten der Relation aus LF309 nach dem Parameter t (untere Grenze null, obere Grenze t). Nach vollbrachter Tat lässt man t gegen unendlich gehen. Andere Lösungsmethoden sind erwünscht; Ergebnisse im Umfeld des Integralsinus sollten aber vermieden werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3838 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 22:17: |
|
Hi allerseits Lösung der Aufgabe LF 310: In der Aufgabe LF 309 wurde das Integral mit unterer Grenze x = 0 , oberer Grenze x = unendlich, nämlich int [e^(-x)*cos (tx) * dx ] ermittelt; das Resultat lautet: 1 / ( 1 + t ^2 ) Unter gewissen Voraussetzungen, die hier erfüllt sind, darf unter dem soeben angeschriebenen Integral in der oberen Zeile zweimal nach t von 0 bis t integriert werden; tun wir dies auch in der unteren Zeile, so entsteht: int[e^(-x)*{1-cos (tx)}/x^2 * dx] (untere Grenze x = 0 , obere Grenze x = unendlich) = int [arc tan t] * dt (untere Grenze t = 0, obere Grenze t) das letzte Integral ist aber = t * arc tan t - ln [wurzel(1+ t^2)]. Wir haben nun die Relation int [e^(-x)*{1-cos (tx)}/x^2 * dx] = t * arc tan t - ln [wurzel(1+ t^2)]. Substitution t x = z , dx = dz / t Es kommt : int[e^(-z/t)*{1-cos (z)}/z^2 * dz] =.. (untere Grenze z = 0, obere Grenze z = infinity) = arc tan t – 1 / t * ln [wurzel(1+ t^2)]. Nun lassen wir t gegen unendlich gehen, dabei verschwindet der Term mit ln , und es entsteht das erwünschte Resultat int [ (1- cos z) / z^2 * dz ] = ½ * Pi (untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1268 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 22:32: |
|
Hi megamath, ich wollte grad eben auch publizieren, hat sich ja dann wohl erledigt! Dürfte ich fragen, was dies für Vorraussetzungen sind, oder führt das zuweit?? Für das Integral sin(x)/x hät ich noch die Idee der Gammafunktion, da hatten wir doch mal so ein Integral... mfg |
|