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Lockere Folge 310 : Integral O8

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3835
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi allerseits


Mit der Integral-Aufgabe O8 kommt
die Aufgabe LF 310; sie lautet:

Man berechne das uneigentliche Integral
H = int [(1- cos z) / z^2 dz]
untere Grenze z = 0 , obere Grenze z = unendlich.

NB (Zweck der Übung):
Das Resultat wird in nachfolgenden
LF-Aufgaben benötigt.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3836
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 18:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hinweise zur Aufgabe LF 310.
Die Aufgabe ist naturgemäß nicht einfach.
Wir benötigen das Resultat H = ½ Pi,
um für den Integralsinus Si(x) den
Grenzwert für x gegen unendlich, nämlich
lim Si(x) = ½ Pi, zu bestimmen.

H findet man durch zweimalige Integration
beider Seiten der Relation aus LF309 nach dem Parameter t
(untere Grenze null, obere Grenze t).
Nach vollbrachter Tat lässt man t gegen unendlich
gehen.

Andere Lösungsmethoden sind erwünscht;
Ergebnisse im Umfeld des Integralsinus sollten aber
vermieden werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3838
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 22:17:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösung der Aufgabe LF 310:

In der Aufgabe LF 309 wurde das Integral mit unterer Grenze x = 0 ,
oberer Grenze x = unendlich, nämlich
int [e^(-x)*cos (tx) * dx ] ermittelt; das Resultat lautet:
1 / ( 1 + t ^2 )

Unter gewissen Voraussetzungen, die hier erfüllt sind,
darf unter dem soeben angeschriebenen Integral
in der oberen Zeile zweimal nach t
von 0 bis t integriert werden;
tun wir dies auch in der unteren Zeile, so entsteht:

int[e^(-x)*{1-cos (tx)}/x^2 * dx]
(untere Grenze x = 0 , obere Grenze x = unendlich)
= int [arc tan t] * dt
(untere Grenze t = 0, obere Grenze t)
das letzte Integral ist aber
= t * arc tan t - ln [wurzel(1+ t^2)].

Wir haben nun die Relation
int [e^(-x)*{1-cos (tx)}/x^2 * dx] = t * arc tan t - ln [wurzel(1+ t^2)].
Substitution t x = z , dx = dz / t
Es kommt :
int[e^(-z/t)*{1-cos (z)}/z^2 * dz] =..
(untere Grenze z = 0, obere Grenze z = infinity)
= arc tan t – 1 / t * ln [wurzel(1+ t^2)].

Nun lassen wir t gegen unendlich gehen, dabei verschwindet
der Term mit ln , und es entsteht das erwünschte Resultat
int [ (1- cos z) / z^2 * dz ] = ½ * Pi
(untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1268
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 22:32:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich wollte grad eben auch publizieren, hat sich ja dann wohl erledigt!

Dürfte ich fragen, was dies für Vorraussetzungen sind, oder führt das zuweit??

Für das Integral sin(x)/x hät ich noch die Idee der Gammafunktion, da hatten wir doch mal so ein Integral...

mfg

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