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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3827
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 14:36: | 
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Hi allerseits
Mit der Integral-Aufgabe O6 kommt
die Aufgabe LF 308; sie lautet:
Aufgabe LF 308:
Mit gn(x) = x^n * arsinh (x) als Integrand bildet
man das bestimmte Integral
K(n) = int [gn(x) dx]
untere Grenze -1, obere Grenze 1.
Man berechne die exakten Werte von
K(1),K(2),K(3),K(4),K(5),K(6).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1267
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 09:23: |
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Hi megamath,
durch partielle Integration komme ich auf:
K(n) = 0 falls n gerade
K(n)= (2/(n+1))*ln(sqrt(2)+1) - 1/(n+1) I(n+1)
falls n ungerade
Wobei I(n+1) das vor kurzem hergelitete Integral x^(n+1)/(sqrt(1+x^2)) ist!
Stimmt das soweit? Die meisten Schwierigkeiten bereitet hier wohl, das man auf (-1^n) achten muss etc.!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3832
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. April, 2004 - 14:10: |
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Hi Ferdi
Deine Ergebnisse sind richtig!
Zur Ergänzung noch ein paar Resultate:
Für ungerade n ist der Graph des Integranden
zur y-Achse symmetrisch,
für gerade n ist er zentralsymmetrisch bezüglich
des Nullpunktes O.
es gilt:
Stammfunktion F1(x) für n = 1:
F1(x) = (½ x^2 + ¼) arsinh x – ¼ x sqrt(x^2+1);
daraus
K1 = 3/2 arsinh 1 – ½ sqrt(2) = 3/2 ln (1+sqrt(2)) – ½ sqrt(2)
Ferner:
Stammfunktion Fn(x) für n:
Fn(x) =
1/(n+1) * x^ (n+1) arsinh x - 1/(n+1) * int[x^(n+1) / sqrt(1+x^2) dx]
daraus:
K3 = 5/16 ln (1+sqrt(2)) + 1 / 16 sqrt(2)
K5 = 7/16 ln (1+sqrt(2)) – 13 / 144 sqrt(2)
und so weiter und so fort!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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