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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3817
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 12:32: | 
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Hi allerseits
Mit der Integral-Aufgabe O3 kommt
die Aufgabe LF 305; sie lautet:
Aufgabe LF 305
Für alle x-Werte des Intervalls a <= x <= b gelte:
f(a +b - x) = f(x).
Mit f(x) als Integrand wird das bestimmte Integral
F1 = int [f(x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b
gebildet.
Mit x* f(x) als Integrand wird das bestimmte Integral
F2 = int [ x* f(x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b
gebildet.
Sei m das arithmetische Mittel der Grenzen,
also m = ½ (a+b).
Man beweise die Relation
F2 = m * F1
°°°°°°°°°°°°
Hinweis
Zur Illustration verwende man das Beispiel:
f(x) = x^2 – 4 x + 5 mit a = -1 , b = 5.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1262
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 14:39: |
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Hi megamath,
ich weiß nicht ob das so geht:
Für das Intervall gilt:
f(a+b-x) = f(x)
daraus würde ich folgern:
a+b-x = x
x = (a+b)/2
Das würde ich dann in F2 einsetzen und hätte sofort die ausage stehen!
F2 = (a+b)/2 * int[f(x) dx]
==> (a+b)/2*F1 = F2
Bei diesem Bespiel handelt es sich um eine Parabel:
F1 = int[f(x) dx] = 24
==> (a+b)/2 * F1 = 48
F2 = int[x * f(x) dx] = 48
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3819
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:16: |
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Hi Ferdi
Ganz so einfach ist es nicht; es gilt nicht x = m.
Geometrischer Hintergrund:
Für alle x aus dem Intervall gilt:
Die Punkte P(a+b-x/0) und Q(x/0) haben den
von x unabhängigen Mittelpunkt
Z(m/0) mit m = ½ (a+b).
Die Aufgabe kann elegant mit dem Resultat
aus der Aufgabe LF 304 gelöst werden.
LF 304:
Gegeben ist die im Intervall [a,b] integrierbare Funktion G(x).
Man bilde damit die beiden bestimmten Integrale
M1 = int [G (x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b
und
M2 = int [G (a+b-x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b.
Dann gilt: M1 = M2.
Mit der in Aufgabe LF 305 gegebenen Funktion f(x) bilde man
G(x) = x * f(x).
Berechnung von G(a+b-x):
G(a+b-x) = (a+b-x)*f(a+b-x)
Daher nach Voraussetzung über f(x):
G(a+b-x) = (a+b-x)*f(x).
Nun bilden wir die Integrale M1 und M2, die ja gleich sind;
jedes Mal: untere Grenze a, obere Grenze b.
M1 = int [G (x) dx] = int [x f(x) dx]
M2 = int [G (a+b-x) dx] = int [(a+b-x) * f(x) dx] =
(a+b) * int [f(x) dx] - int [x f(x) dx],
Aus M1 = M2 folgt
2* int [x f(x) dx] = (a+b) int [f(x) dx],also
int [x f(x) dx] = ½ (a+b) int [f(x) dx] = m* int [x f(x)]dx
quod erat……..
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1264
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:21: |
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Hi megamath,
ich dachte mir schon das es nicht so einfach sein konnte  ! Ich hatte auch erst die Idee eine der vorhergehenden Aufgaben zu nutzen, aber es sah so schön aus...
Da hab ich mir selbst ein Ei zu Ostern gelegt  !
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3821
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:32: |
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Hi Ferdi
So kommt ein Ei zum andern!
Gut Ei wünscht
H.R.Moser,megamath |
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