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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3805
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 14:56: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 300
Ein Jubiläumsmonster:
Gegeben ist das bestimmte Integral
J(n) = int [x^n * sin (Pi x) dx]
untere Grenze 0, obere Grenze 1;
n ist eine natürliche Zahl.
a)
Drücke J(n+2) durch J(n) aus.
b)
Beweise: lim [n^2 * J(n)] = Pi
(Grenzwert im Sinne von n strebt gegen unendlich).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1253
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 17:00: |
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Hi megamath,
wieder einmal eine nette Aufgabe mit Tücken!
a)
Partielle Integration mit x^n = u' (!!) und sin(pi * x) = v
liefert für [u * v] = 0
int[u * v'] = pi / { (n+1)*(n+2) }
Schliesslich bleibt über:
-pi^2/{(n+1)*(n+2)} * int[x^(n+2) * sin(pi x)]
-pi^2/{(n+1)*(n+2)} * J(n+2)
Lösen wir nach J(n+2) so erhalten wir:
J(n+2) = 1/pi - [{(n+1)*(n+2)}/pi^2 * J(n)]
Beim entwickeln von J(n) sehen wir schon, das der Nenner immer größer wird für größere n, d.h J(n) läuft für große n immer näher gegen 0! Das nutzen wir gleich für:
b)
n^2 * J(n)
J(n) = pi/{(n+1)*(n+2)} - pi^2/{(n+1)*(n+2)} J(n+2)
Der erste Term :
n^2 * pi / {(n+1)*(n+2)} für n->inf --> pi
Der zweite Term:
Da J(n) -> 0 für n->inf -->
Daher:
n^2*J(n) ---> pi für n->inf
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3806
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 17:08: |
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Hi Ferdi
Du hast den Hindernislauf erfolgreich beendet.
Bravo!
Die nächste LF-Aufgabe folgt morgen.
Bis dann
H.R.Moser,megamath |
