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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3800
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 14:00: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 299 /68
gegeben ist f(x) = 1 / (1 + x^3)
Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von f(x)
und berechne das bestimmte Integral
Z = int [f(x) dx];
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 16:17: |
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Hi megamath,
Durch Polynomdivision sieht man:
(1 + x^3) = (x + 1)*(x^2 - x + 1)
Ansatz:
1/(1+x^3) = A/(x+1) + [Bx + C]/(x^2-x+1)
Führt auf A = 1/3 , B = -(1/3) , C = 2/3 :
Das erste Integral ist 1/3*ln(x+1)
Im zweiten Integral formen wir um:
x^2 - x +1 = (x - (1/2))^2 + (3/4)
Dann (x - (1/2)) = u ==> dx = du
- 1/3int[ u - (3/2) / (u^2 + (3/4)) du ]
-1/3int[ u/(u^2 + (3/4)) du] + (1/2)[ 1 /(u^2 + (3/4) du]
Das erste führt auch auf ein ln-lntegral, das zweite auf ein arctan schließlich:
int[..] = arctan[(2x - 1)/sqrt(3)]/sqrt(3) + (1/3)ln(1+x) - (1/6)ln(x^2-x+1)
oder umgeformt:
int[..] = arctan[(2x - 1)/sqrt(3)]/sqrt(3) + (1/6)ln[(x^2+2x+1)/(x^2-x+1)]
Nutzen wir nun das der ln für x->inf gegen ln(1) = 0 läuft und arctan(x) gegen pi/2 für x->inf:
Z = 2*pi / sqrt(27) ~ 1,209
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3802
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 17:13: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung ist in allen Teilen richtig
und instruktiv.
Nützlich und lehrreich ist die Polynomdivision mit der Abspaltung eines Polynoms zweiten Grades
mit komplexen Nullstellen.
Bei einem solchen Ereignis ist bekanntlich (!)
eine besondere Sorgfalt beim Ansatz mit unbestimmten Koefizieten im Zähler erforderlich.
Besten Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath
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