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Lockere Folge 298 : Integral 8

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3798
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 10:29:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 298
gegeben ist f(x) = e^ (-ax) * sin (bx)
Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von f(x)
und berechne für a > 0 das bestimmte Integral
Y° = int [f(x) dx],
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1248
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi megamath,

auch hier kommt man durch zweimalige Partielle Integration auf:

int[..] -e^(-a*x)*[a*sin(bx) + b*(cos(bx)]/{a^2 + b^2}

Das bring uns für Aufgabenteil b)

Y° = b / (a^2 + b^2)

Bin schon auf deine Methode gespannt!!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3801
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 14:46:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Besten Dank für Deine Lösung.

Die Methode, mit der ich die Aufgabe löse,
beruht auf einer Eingebung bei intensiver Meditation
und auf reichlicher Erfahrung im Umgang mit
solchen Integralen.

Wir setzen als Stammfunktion an:
F(x) = [p sin(bx) + q cos (bx)] * e^(-ax).
Beide Seiten leiten wir nach x ab; es entsteht:
f(x) = [p b cos(bx) – q b sin (bx)] * e^(-ax)
- a e^(-ax) [p sin(bx) + q cos (bx)], geordnet
f(x) = e^(-ax) * [(- qb – pa) sin(bx) +(pb – qa) cos(bx)].

Beachte: f(x) = e^ (-ax) * sin (bx);
In der vorletzte Zeile hebt sich daher e^(-ax) weg.

Der Koeffizientenvergleich liefert das inhomogene
lineare Gleichungssystem für die Unbekannten p,q:

-q b – p a = 1
p b - q a = 0

oder

a p + b q = - 1
- b p + a q = 0

Die Determinante des Systems ist D = a^2 + b^2 ;
sie ist von null verschieden, wegen der Voraussetzung
a nicht null.
Es gibt genau ein Lösungspaar (p/q); dieses lautet:
p = - a / D , q = - b / D
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1251
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 11:12:   Beitrag drucken

Hi megamath,

du hast recht! Die Methode habe ich erst nach mehrstündiger Meditation verstanden. Sie ist ein Schmuckstück und gehört in die Galerie!

mfg

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