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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3798 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 10:29: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 298 gegeben ist f(x) = e^ (-ax) * sin (bx) Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von f(x) und berechne für a > 0 das bestimmte Integral Y° = int [f(x) dx], untere Grenze 0, obere Grenze unendlich. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1248 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 12:54: |
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Hi megamath, auch hier kommt man durch zweimalige Partielle Integration auf: int[..] -e^(-a*x)*[a*sin(bx) + b*(cos(bx)]/{a^2 + b^2} Das bring uns für Aufgabenteil b) Y° = b / (a^2 + b^2) Bin schon auf deine Methode gespannt!! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3801 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 14:46: |
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Hi Ferdi Besten Dank für Deine Lösung. Die Methode, mit der ich die Aufgabe löse, beruht auf einer Eingebung bei intensiver Meditation und auf reichlicher Erfahrung im Umgang mit solchen Integralen. Wir setzen als Stammfunktion an: F(x) = [p sin(bx) + q cos (bx)] * e^(-ax). Beide Seiten leiten wir nach x ab; es entsteht: f(x) = [p b cos(bx) – q b sin (bx)] * e^(-ax) - a e^(-ax) [p sin(bx) + q cos (bx)], geordnet f(x) = e^(-ax) * [(- qb – pa) sin(bx) +(pb – qa) cos(bx)]. Beachte: f(x) = e^ (-ax) * sin (bx); In der vorletzte Zeile hebt sich daher e^(-ax) weg. Der Koeffizientenvergleich liefert das inhomogene lineare Gleichungssystem für die Unbekannten p,q: -q b – p a = 1 p b - q a = 0 oder a p + b q = - 1 - b p + a q = 0 Die Determinante des Systems ist D = a^2 + b^2 ; sie ist von null verschieden, wegen der Voraussetzung a nicht null. Es gibt genau ein Lösungspaar (p/q); dieses lautet: p = - a / D , q = - b / D °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1251 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 11:12: |
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Hi megamath, du hast recht! Die Methode habe ich erst nach mehrstündiger Meditation verstanden. Sie ist ein Schmuckstück und gehört in die Galerie! mfg |