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Lockere Folge 294 : Rekursionsformel 4

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3786
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 18:24:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 294:
Für das (unbestimmte) Integral
E(n) = int [e^x * (cos x )^n dx ] , n =1,2,3…
gilt die Rekursionsformel
E(n) = 1/(1+n^2) * [(cos x +n sin x) e^x (cos x)^(n-1) +n*(n-1) * E(n-2)]

Man beweise diese Relation und verwende sie, um das Integral
von Francesco weiter oben fix und fertig zu berechnen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1243
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 23:17:   Beitrag drucken

Hi megamath,

das ist schon mal was schönes zu dieser Uhrzeit!

int[e^x cos(x)^n dx ]

mit e^x = u' , cos(x)^n = v

u * v = e^x * cos(x)^n

u * v' = - e^x * n * sin(x) * cos(x)^(n-1)

Dann in

-int[ u * v' ] wieder e^x = u'!!

Führt zuerstmal auf nach ausklammern auf:

[cos(x) + n * sin(x)]* e^x * cos(x)^(n-1)

Bleibt das Integral:

u * v'

wobei v = sin(x) * cos(x)^(n-1) =>(Produkt, Kettenregel)
d.h. v' = cos(x)^n - (n-1) sin(x)^2 cos(x)^(n-2)

Darin wieder sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2, führt auf E(n-2) und das dann noch nach E(n) auflösen führt auf das gewünschte Ergebniss!

Gute Nacht !

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3789
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 08:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Nicht nur die Uhrzeit,auch das Datum ist (ususgemäss) einmalig!
Besten Dank für die Lösng.
MfG
H.R.Moser,megamath

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