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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3785
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 15:17: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 293 lautet.
Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von
f(x) = sqrt(1+x^2) / x^3
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1241
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 22:56: |
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Hi megamath,
setzt man wieder
x = 1/u ==> dx = -1/u^2 du
-int[sqrt(1 + 1/u^2)/(1/u^3) (1/u^2) du]
-int[sqrt(u^2 + 1) du]
Dies kann man wieder mit
u = sinh(t) lösen, da sinh(t)^2 + 1 = cosh(t)^2!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3790
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 08:39: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deinen Beitrag!
Hier noch das Schlussresultat:
F(x) = - ½ arsinh (1/x) – 1 / (2x^2) * sqrt (1+x^2)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Emil_k (Emil_k)
Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 17:43: |
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@TI98:
Also das geht mir etwas zu rasch!
Kannst du bitte noch vorführen, wie du weiter vorgegangen bist?
Ich komme mit einer anderen Vorgangsweise auf dasselbe Resultat, aber den Areasinh ausgedrückt durch ln.
mit freundlichen Grüßen
emil |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1247
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 22:34: |
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Hi emil,
da ist doch kein Problem:
Es gilt doch:
arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2+1))
Das hat megamath erst vor kurzem hier im Forum hergeleitet!
Beim Integral gehts so weiter:
-int[sqrt(u^2+1) du]
u = sinh(t) ==> du = cosh(t) dt
-int[cosh(t)^2 dt]
Hierzu findet man leicht:
-int[cosh(t)^2 dt] = -{(1/2)*[sinh(t)cosh(t)+t]}
D.h. mit
sinh(t) = u , cosh(t) = sqrt(u^2+1) und t = arsinh(u)
int[..] = -(1/2)*[u * sqrt(u^2+1) + arsinh(u)]
Jetzt nur noch u = 1/x und man erhält das Ergebniss!!
mfg
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Emil_k (Emil_k)
Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 05:15: |
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Ich danke dir, ich werde das nacharbeiten!
Gruß
emil |
