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Beraha Konstanten

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1236
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 15:04:   Beitrag drucken

Hi,

ich habe da letztens was gelesen, über die sogenanten "Beraha Konstanten". Hat jemand da nähere Informationen drüber?

Sie sollen wohl definiert sein als:

B(n) = 2 + 2*cos( 2*pi / n )

So ist zum Beispiel:

B(5) = phi + 1 (phi = sectio aurea)

Und was mich überhaupt zu der Suche brachte:

Wie kann ich zeigen, das B(7) Nullstelle des Polynoms:

x^3 - 5*x^2 + 6*x - 1 = 0

ist??

Danke und mfg
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 818
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 16:11:   Beitrag drucken

Hallo,

z = exp(2p/7)

ist Nullstelle von

z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

Dividiere dies durch z3 und rechne nach, dass

w := z + 1/z = 2Re(z) = 2 cos(2p/7)

alsdann Nullstelle von

w3 + w2 - 2w - 1 = 0,

und daher x = B(7) = w-2 Nullstelle des genannten
Polynoms ist.
Dasselbe Verfahren führt für beliebiges n zum Ziel.




mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1237
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 19:20:   Beitrag drucken

Hi Orion,

es geht also um die symetrischen Kreisteilungspolynome, das sehe ich! Ich habe deine Rechnung auch soweit nachvollziehen können, nur 2 Fragen:

Muss es am Ende nicht heißen:

x = B(7) = w + 2 ? ?

Und wie kommst du auf die Behauptung:

z + 1/z = 2Re(z)??

Vielen Dank im Vorraus!!
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2117
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 21:11:   Beitrag drucken

Arg(1/z) = -Arg(z)
daher
wenn |z| = 1 gilt z+1/z = 2Re(z)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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