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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3774
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 19:19: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 289 lautet.
Man ermittle eine Stammfunktion F(x) von
f(x) = (sin x)^3 * (cos x)^2
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1235
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 21:14: |
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Hi megamath,
man soll hier bestimmt die über den Tag hergeleiteten Rekursionformeln benutzen, aber ich sehe da noch was besseres!!
Ich schreibe den Integranden um:
int[ sin(x)^3 * cos(x)^2 ]
int[ sin(x) * sin(x)^2 * cos(x)^2 ]
int[ sin(x) * (1 - cos(x)2)*cos(x)^2 ]
int[ sin(x) * (cos(x)^2 - cos(x)^4) ]
In diesem Integral substituieren wir:
cos(x) = u ==> dx = -du / sin(x)
int[ u^4 - u^2 du ]
=> 1/5 u^5 - 1/3 u^3
Insgesamt also:
in[f(x) dx] = 1/5 cos(x)^5 - 1/3 cos(x)^3
Vielleicht machts ja einer mit den Rekursionformeln, dürfte ja auch nicht schwer sein!!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3776
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 07:39: |
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Hi Ferdi
Eine originelle Lösung;
besten Dank!
Solche besondere Lösungen bei
Integrationen sind sehr erwünscht!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3777
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 09:07: |
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Hi allerseits
Lösung mit Hilfe der Rekursionsformel für int [(sin x)^n dx ]:
J(n) = int [(sin x)^n dx ] = - 1/n* sin( x)^(n-1)* cos (x) + (n-1)/n * J(n-2)
Insbesondere erhält man:
J(3) = - 1/3 cos(x)* [(sin x)^2+2] und daraus
J(5) = - 1/5 (sin x)^4 * cos(x) - 4 /15 (sin x)^2* cos(x) – 8 /15 cos x
Der Integrand
f(x) = (sin x)^3 * (cos x)^2
des gegebenen Integrals lässt sich zerlegen in
f(x) = (sin x)^3 * [1 - (sin x)^2] = (sin x)^3 - (sin x)^5
sodass als Aufgabe
J(3) - J(5) zu ermitteln ist; das Ergebnis lautet:
F(x) = 1/15 * cos(x) * [3 (sin x)^4 – (sin x)^2 – 2]
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MfG
H.R.Moser,megamath
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