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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3773
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 18:19: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 288 lautet:
Gegeben ist das (unbestimmte) Integral
K(m) = int [ x ^ m / sqrt (1 + x^2) dx ] ; m ganzzahlig , nicht null.
Man beweise die Rekursionsformel
K(m) = 1 / m * x ^ (m - 1)* sqrt (1 + x^2) - (m - 1) / m * K(m-2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1234
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 21:02: |
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Hi megamath,
da hatte ich länger dran zu knabbern!
Schreibe ich den Nenner wieder um:
x * x^(m-1)
Dann partielle Integration mit:
x / sqrt(1 + x^2) = u'
x^(m-1) = v
Wir erhalten:
u * v = sqrt(1 + x^2) * x^(m-1)
u * v' = sqrt(1 + x^2) * (m-1) * x^(m-2)
Nun hier der Trick, wir erweitern mit sqrt(1 + x^2)!!
u * v' = (m-1) * (x^m + x^(m-2))/sqrt(1 + x^2)
u * v' = (m-1) K(m) + K(m-2)
Setzen wir nun alles ein in:
int[u' * v] = u * v - int[u * v']
So erhalten wir nach Umordnung:
K(m) = x^(m-1)*sqrt(1 + x^2) - (m - 1) * K(m) * K(m-2)
oder:
K(m) = 1/m * x^(m-1) * sqrt(1 + x^2) - (m - 1)/m * K(m-2)
q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3775
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 07:11: |
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Hi Ferdi
Die Nummer 1234 Deines Beitrags macht´s
offenbar möglich,auch schwierigere Aufgaben
zu lösen.
Die kleine Schikane habe ich natürlich
absichtlich eingebaut!
Besten Dank für Deine Lösung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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