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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3758
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. März, 2004 - 16:27: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 284
Man bestimme alle Wendepunkte der algebraischen Kurve
fünfter Ordnung
2 y^5 – 5 x y^2 + x^5 = 0
Die Kurve besitzt eine schiefe Asymptote.
Wie lautet deren Gleichung?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1228
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. März, 2004 - 23:00: |
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Hi megamath,
eine nette Aufgabe!
Nur leider hab ich keinen Ansatzpunkt! Durch einführen von Polarkoordinaten habe ich mir wenigstens schon mal ein Bild machen können, die Kurve sieht aus wie zwei Blätter!
Ich habe auch schon die Steigung der asymptote Berechnen können (das scheint jetzt mein Spezialgebiet!!):
m = (-0,5)^(1/5) ~ -0,8705
Aber die Wendepunkte, da beise ich mir schon seit 20 Uhr die Zähne dran aus!! Implizites differenzieren, Polarkoordinaten..., nichts führte zum Ziel!
Einen kleinen Hinweis vielleicht  ?
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 811
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. März, 2004 - 10:10: |
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Hallo,
Eine Parametrisierung könnte nützlich sein.
Da die Kurve punktsymmetrisch zum Ursprung ist,
genügt es, sich auf x>= 0 zu beschränken.
Schneidet man sie mit einer Ursprungsgeraden
y = tx
so folgt
x3[x2 - 5t2/(2t5+1)] = 0.
Die gesuchte Parameterdarstellung lautet daher
x = sqrt(5)*t/sqrt(5t5+1),
y = sqrt(5)*t2/sqrt(5t5+1); t > - (1/2)1/5
wie man durch Einsetzen bestätigt.
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 812
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. März, 2004 - 10:38: |
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Korrektur:
sqrt(2t5+1) statt sqrt(5t2+1)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3759
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. März, 2004 - 11:11: |
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Hi Fredi
Du hast die Steigung der Asymptote richtig berechnet!
Da die Kurve bezüglich des Nullpunktes O zentralsymmetrisch ist,
geht die (einzige) Asymptote der Kurve durch O;
ihre Gleichung lautet somit:
y = m x, mit dem oben berechneten m - Wert, der sich als eine
fünfte Wurzel darstellt.
Eine Methode, wie die Wendepunkte ermittelt werden können,
folgt später.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3760
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. März, 2004 - 11:13: |
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Hi Ferdi
Die angekündigte Methode ist die folgende.
Parametrisierung der Kurve c
mit dem Ansatz y = t x
Darstellung von c durch die Funktionen
x = x(t), y = y(t).
Erste Ableitung y´ (x) = dy/dx = y°(t) / x°(t).
Damit ist y´ als Funktion von t dargestellt, deren
Extrema das gewünschte Resultat liefern.
Hinweis zur Kontrolle:.
Massgeblicher t-Wert :
t = 5 / sqrt(3) - 3.
So sollte es funktionieren!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1229
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. März, 2004 - 16:19: |
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Hi megamath,
mit der Parametriesierung (Orion hatte ja den selben Vorschlag!!) kommt man auf die Ableitung:
y'(t) = ( 2*t - t^6 ) / (1 - 3t^5)
Das führt für deren Extrema = Wendepunkte der algebraischen Kurve auf:
3t^10 + 18t^5 + 2 = 0
3z^2 + 18z + 2 = 0
mit z = -3 +- 5/sqrt(3)
==> t = (-3 +- 5/sqrt(3))^(1/5) [Du hast vergessen die fünfte Wurzel zu ziehen ]
Kommt der zweite Punkt hier nicht in Frage? Oder ist das der zweite Wendepunkt der Kurve?
Man kann nun t in die Parameter darstellung einsetzen und erhält den(die) Punkt(e)!
Eine intersante Methode an die Sache ranzugehen, muss ich mich mal drüber meditieren und den Sinn dahinter finden!
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 813
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. März, 2004 - 10:45: |
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Ferdi,
beachte, dass t > -(1/2)1/5 sein muss, daher
ist nur
t =- [3-5/sqrt(3)]1/5
brauchbar.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1230
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. März, 2004 - 20:34: |
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Hi Orion,
da hätt ich auch selber drauf kommen können! Besten Dank für den Hinweis, damit sollte dann alles geklärt sein!
mfg |
